高考数学大一轮复习 第十二章 不等式选讲 第60讲 不等式的证明课时达标 文（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第60讲不等式的证明课时达标1．已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.证明(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2.因为a，b都是正数，所以a＋b>0.又因为a≠b，所以(a－b)2>0.于是(a＋b)(a－b)2>0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，所以a3＋b3>a2b＋ab2.2．已知a，b，c∈(0，＋∞)，求证：2≤3.证明欲证2≤3，只需证a＋b－2≤a＋b＋c－3，即证c＋2≥3.因为a，b，c∈(0，＋∞)，所以c＋2＝c＋＋≥3＝3，所以c＋2≥3成立，故原不等式成立．3．(2019·南京盐城联考)已知△ABC的三边长分别为a，b，c.求证：＋＋≥a＋b＋c.证明因为[(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)]≥(a＋b＋c)2，又a＋b＋c＞0，所以＋＋≥a＋b＋c，当且仅当＝＝时，等号成立．4．设a，b为正实数，且＋＝2.(1)求a2＋b2的最小值；(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．解析(1)由2＝＋≥2得ab≥，当a＝b＝时，等号成立．故a2＋b2≥2ab≥1，当a＝b＝时，等号成立．所以a2＋b2的最小值是1.(2)由(a－b)2≥4(ab)3得2≥4ab，即2－≥4ab，从而ab＋≤2.又a，b为正实数，有ab＋≥2，所以ab＋＝2，所以ab＝1.5．(2019·哈尔滨三中检测)已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝2.(1)求证：ab＋bc＋ac≤；(2)若a，b，c都小于1，求a2＋b2＋c2的取值范围．解析(1)证明：因为a＋b＋c＝2，所以a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝4，所以8＝2a2＋2b2＋2c2＋4ab＋4bc＋4ca≥6ab＋6bc＋6ac，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，所以ab＋bc＋ac≤.(2)因为a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝4，所以4≤a2＋b2＋c2＋a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2＝3(a2＋b2＋c2)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，所以a2＋b2＋c2≥.因为0＜a＜1，所以a＞a2.同理b＞b2，c＞c2.所以a2＋b2＋c2＜a＋b＋c＝2，所以≤a2＋b2＋c2＜2，所以a2＋b2＋c2的取值范围为.6．已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.(1)求f(x)的最小值m；(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥3.解析(1)当x＜－1时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x∈(3，＋∞)；当－1≤x＜2时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3,6)；当x≥2时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x∈[6，＋∞)．综上，f(x)的最小值m＝3.(2)证明：因为a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝3，所以＋＋＋(a＋b＋c)＝＋＋≥2＝2(a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立，所以＋＋≥a＋b＋c，即＋＋≥3.