高中数学 第四章 圆与方程 4.1.2 圆的一般方程限时规范训练 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题VIP专享VIP免费

4.1.2圆的一般方程【基础练习】1．(2019年江西九江期末)已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D．【答案】A【解析】方程可化为(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2>0，即k<－1时才能表示圆．2．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为()A．－2或2B．或C．2或0D．－2或0【答案】C【解析】由圆的方程得圆心坐标为(1,2)．由点到直线的距离公式得＝，解得a＝2或a＝0.3．已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是()A．x2＋y2＝32B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16D．x2＋(y－1)2＝16【答案】B【解析】设M(x，y)，则＝2，整理得x2＋y2＝16.4．若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于直线l1：x－y＋4＝0和直线l2：x＋3y＝0都对称，则D＋E的值为()A．－4B．－2C．2D．4【答案】D【解析】圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心为.又圆关于直线l1和l2都对称，所以l1，l2都经过该圆的圆心，所以有解得所以D＋E＝4.5．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为________．【答案】(2，－3)【解析】由x2＋y2－2x＋2y－3＝0，得(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心C(1，－1)．设B(x0，y0)，又A(0,1)，则C为AB的中点，由中点坐标公式得解得所以点B的坐标为(2，－3)．6．(2019年浙江杭州模拟)如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________．【答案】(0，－1)【解析】∵r＝＝，∴当k＝0时，r最大．此时圆的面积最大，圆的方程可化为x2＋y2＋2y＝0，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．7．已知M(－1,5)，N(5,5)，P(6，－2)，Q(－2,4)，求证：M，N，P，Q四点在同一个圆上．【证明】设过M，N，P三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，分别把点M(－1,5)，N(5,5)，P(6，－2)，代入可得解得故过M，N，P三点的圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.将Q(－2,4)代入上述方程，得(－2)2＋42－4×(－2)－2×4－20＝0成立，即点Q也在该圆上，所以M，N，P，Q四点在同一个圆上．8．设圆的方程为x2＋y2－4x－5＝0.(1)求该圆的圆心坐标及半径；(2)若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1)，求直线AB的方程．【解析】(1)将x2＋y2－4x－5＝0配方得(x－2)2＋y2＝9.∴圆心坐标为C(2,0)，半径为r＝3.(2)设直线AB的斜率为k.由圆的几何性质可知CP⊥AB，∴kCP·k＝－1.又kCP＝＝1，∴k＝－1.∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，即x＋y－4＝0.【能力提升】9．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是()A．B．C．D．【答案】A【解析】圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则圆心(－1,2)在直线上，求得a＋b＝1.ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－2＋≤，ab的取值范围是.故选A．10．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝4(x≠±2)B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝2【答案】A【解析】设P(x，y)，则PM⊥PN.又kPM＝＝(x≠－2)，kPN＝＝(x≠2)，∵kPM·kPN＝－1，∴·＝－1，即x2－4＋y2＝0，即x2＋y2＝4(x≠±2)．当x＝2时，不能构成以MN为斜边的直角三角形，因此不成立．同理当x＝－2时，也不成立．故点P的轨迹方程是x2＋y2＝4(x≠±2)．11．光线从点A(1,1)出发，经y轴反射到圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4的最短路程等于________．【答案】6－2【解析】∵A(1,1)关于y轴对称点为A′(－1,1)，∴所求的最短路程为|A′C|－2，|A′C|＝＝6.∴所求的最短路程为6－2.12．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2,3)．(1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值．【解析】(1)因为点P(a，a＋1)在圆上，所以a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0.所以a＝4，P(4,5)．所以|PQ|＝＝2，kPQ＝＝.(2)圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－7)2＝8，圆心C坐标为(2,7)，半径是2.|QC|＝＝4＞2，所以点Q在圆外．所以|MQ|max＝4＋2＝6，|MQ|min＝4－2＝2.