考点测试49双曲线一、基础小题1．已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是()A.－＝1B.－＝1(x≥4)C.－＝1D.－＝1(x≥3)答案D解析由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支，故排除A、C；又c＝5，a＝3，∴b＝＝4. 焦点在x轴上，∴轨迹方程为－＝1(x≥3)．故选D.2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.B．5C.D．2答案A解析焦点(c,0)到渐近线y＝x的距离为＝2a，解得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2，∴离心率e＝＝.3．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案A解析根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解． －＝1的焦距为10，∴c＝5＝.①又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2,1)在渐近线上，∴＝1，即a＝2b.②由①②解得a＝2，b＝，则C的方程为－＝1，故应选A.4．已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，则|AB|＝()A．2B．3C．4D．2＋1答案C解析设双曲线的实半轴长为a，依题意可得a＝1，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，又|AF1|＝|BF1|，故|AF2|－|BF2|＝4，又|AB|＝|AF2|－|BF2|，故|AB|＝4，选C.5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，过F2的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点．设F1B＋F1C＝m，F1A＋F1D＝n，则下列各式成立的是()A．|m|>|n|B．|m|<|n|C．|m－n|＝0D．|m－n|>0答案C解析取过点F2且垂直于x轴的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点，则F1B＋F1C＝m＝2F1F2，F1A＋F1D＝n＝2F1F2，故|m－n|＝0，选C.6．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程是()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案D解析依题意得a2＋b2＝c2＝7，由此设双曲线方程为－＝1，另设直线与双曲线的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为(x，y)．则－＝1，①－＝1，②①－②得：(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)，又由x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，x＝－，y＝x－1，k＝＝1，得a2＝2.∴双曲线方程为－＝1，故选D.7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为________．答案x2－＝1解析由题意得解得则b＝，故所求方程为x2－＝1.8．设F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离为________．答案17解析解法一： 实轴长2a＝8，半焦距c＝6，∴||PF1|－|PF2||＝8. |PF1|＝9，∴|PF2|＝1或|PF2|＝17.又 |PF2|的最小值为c－a＝6－4＝2，∴|PF2|＝17.解法二：由题知，若P在右支上，则|PF1|≥2＋8＝10>9，∴P在左支上．∴|PF2|－|PF1|＝2a＝8，∴|PF2|＝9＋8＝17.二、高考小题9．[2015·湖北高考]将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则()A．对任意的a，b，e1b时，e1e2C．对任意的a，b，e1>e2D．当a>b时，e1>e2；当ab时，λ>1，e2>e1；当a0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A．±B．±C．±1D．±答案C解析不妨令B在x轴上方，因为BC过右焦点F(c,0)，且垂直于x轴，所以可求得B，C两点的坐标分别为，，又A1，A2的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，所以A1B＝，A2C＝，因为A1B⊥A2C，所以A1B·A2C＝0，即(c＋a)(c－a)－·＝0，即c2－a2－＝0，所以b2－＝0，故＝1，即＝1，又双曲线的渐近线的斜率为±，故该双曲线的渐近线的斜率为±1.故选C.11．[2016·北京高考]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝______；b＝________.答案12解析由题可知双曲线焦点在x轴上...
