高考数学二轮复习 规范答题示例7 空间角的计算问题 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

规范答题示例7空间角的计算问题典例7(12分)如图，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的一个动点，DC垂直于圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4.(1)求证：DE⊥平面ACD；(2)若AC＝BC，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．审题路线图(1)(2)―→―→―→―→规范解答·分步得分构建答题模板(1)证明∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC，又AB是⊙O的直径，C是⊙O上异于A，B的点，∴AC⊥BC，又AC∩DC＝C，AC，DC⊂平面ACD，∴BC⊥平面ACD，又DC∥EB，DC＝EB，∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD.4分(2)解在Rt△ACB中，AB＝4，AC＝BC，∴AC＝BC＝2，如图，以C为原点建立空间直角坐标系，则A(2，0,0)，D(0,0,1)，B(0,2，0)，E(0,2，1)，AD＝(－2，0,1)，DE＝(0,2，0)，AB＝(－2，2，0)，BE＝(0,0,1).6分设平面ADE的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则令x1＝1，得n1＝(1,0,2)，设平面ABE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则令x2＝1，得n2＝(1,1,0).10分∴cos〈n1，n2〉＝＝＝.∴平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值为.12分第一步找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线．第二步写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标．第三步求向量：求直线的方向向量或平面的法向量．第四步求夹角：计算向量的夹角．第五步得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.评分细则(1)第(1)问中证明DC⊥BC和AC⊥BC各给1分，证明DE∥BC给1分，证明BC⊥平面ACD时缺少AC∩DC＝C，AC，DC⊂平面ACD，不扣分．(2)第(2)问中建系给1分，两个法向量求出1个给2分，没有最后结论扣1分，法向量取其他形式同样给分．跟踪演练7(2017·山东)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．(1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E—AG—C的大小．解(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP.又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP，又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.(2)方法一取的中点H，连接EH，GH，CH.因为∠EBC＝120°，所以四边形BEHC为菱形，所以AE＝GE＝AC＝GC＝＝.取AG的中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，所以∠EMC为所求二面角的平面角．又AM＝1，所以EM＝CM＝＝2.在△BEC中，由于∠EBC＝120°，由余弦定理得EC2＝22＋22－2×2×2×cos120°＝12，所以EC＝2，因此△EMC为等边三角形，故所求的角为60°.方法二以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，，3)，C(－1，，0)，故AE＝(2,0，－3)，AG＝(1，，0)，CG＝(2,0,3)，设m＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量．由可得取z1＝2，可得平面AEG的一个法向量m＝(3，－，2)．设n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量．由可得取z2＝－2，可得平面ACG的一个法向量n＝(3，－，－2)．所以cos〈m，n〉＝＝.因此所求的角为60°.