高中数学 第一章 推理与证明 4 数学归纳法课后演练提升 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

2016-2017学年高中数学第一章推理与证明4数学归纳法课后演练提升北师大版选修2-2一、选择题1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是()A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4解析：当n＝1时，左＝1＋2＋3＋(1＋3)＝1＋2＋3＋4.答案：D2．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，“从n＝k到n＝k＋1”左端需增乘的代数式为()A．2k＋1B．2(2k＋1)C.D.解析：∵当n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)…2k，当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)…2k(2k＋1)(2k＋2)．∴左端“从n＝k到n＝k＋1”需增乘的代数式为：＝＝2(2k＋1)．故选B.答案：B3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n是正整数)，依次计算a2，a3，a4，归纳推测出{an}的通项表达式为()A.B.C.D.解析：a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，…，可推测an＝，故选B.答案：B4．F(n)是一个关于自然数n的命题，若F(k)为真，则F(k＋1)真，现已知F(20)不真，那么：①F(21)不真；②F(19)不真；③F(21)真；④F(18)不真；⑤F(18)真．其中正确的结论为()A．②④B．①②C．③⑤D．①⑤解析：利用等价命题，若F(k)为真，则F(k＋1)为真的等价命题为若F(k＋1)不真，则F(k)不真，所以②④正确．答案：A二、填空题5．设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋_____________.解析：凸k＋1边形在凸k边形的基础上增加了一条边，同时内角和增加了一个三角形的内角和即π.答案：π6．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为__________________．答案：1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2三、解答题17．用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N＋)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝2，等式成立．(2)假设当n＝k(n∈N＋)时等式成立，即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)．两边同乘以得，(k＋2)(k＋3)…(k＋1＋k－1)(2k＋1)(2k＋2)＝2k·1·3·…·(2k－1)·2(2k＋1)＝2k＋1·1·3·…·(2k－1)(2k＋1)．所以当n＝k＋1时等式成立．由(1)(2)知对于n∈N＋等式成立．8．已知数列{an}前n项和为Sn，a1＝－，且Sn＋＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4的值，猜想Sn的解析式，并用数学归纳法证明．解析：S1＝a1＝－S2＋＋2＝S2－⇒S2＝－，S3＋＋2＝S3－S2⇒S3＝－，S4＋＋2＝S4－S3⇒S4＝－.猜想：Sn＝－(n∈N＋)．下面用数学归纳法证明．(1)当n＝1时，左边＝S1＝a1＝－，右边＝－＝－.∵左边＝右边，∴原等式成立．(2)当n＝k时，假设Sk＝－成立，由Sk＋1＋＋2＝Sk＋1－Sk得＝－Sk－2＝－2＝＝＝－，∴Sk＋1＝－＝－，∴当n＝k＋1时，原等式也成立．综合(1)(2)得对一切n∈N＋，Sn＝－成立．9．是否存在常数a、b，使等式1×n＋2(n－1)＋3(n－2)＋…＋(n－2)×3＋(n－1)×2＋n×1＝n(n＋a)(n＋b)对一切自然数n都成立，并证明你的结论．解析：令n＝1，得1＝(1＋a)(1＋b)，令n＝2，得4＝(2＋a)(2＋b)，整理得，解得a＝1，b＝2.下面用数学归纳法证明等式：1×n＋2×(n－1)＋3×(n－2)＋…＋(n－1)×2＋n×1＝n(n＋1)(n＋2)．(1)当n＝1时，由上述解答知等式成立．(2)假设n＝k(k≥1)时等式成立，即1×k＋2×(k－1)＋3×(k－2)＋…＋(k－1)×2＋k×1＝k(k＋1)(k＋2)．当n＝k＋1时，则1×(k＋1)＋2×[(k＋1)－1]＋3×[(k＋1)－2]＋…＋(k－1)×3＋k×2＋(k＋1)×12＝1×k＋2(k－1)＋3(k－2)＋…＋(k－1)×2＋k×1＋(1＋2＋3＋…＋k＋k＋1)＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)．这表明n＝k＋1时等式也成立．由(1)(2)知，等式对一切n∈N＋都成立．3