第四章数系的扩充与复数的引入检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列n的取值中,能使in=1(i是虚数单位)的是()A.n=2B.n=3C.n=4D.n=5解析:i4=1,故选C.答案:C2.若复数z满足方程z2+2=0,则z3等于()A.±2√2B.−2√2C.-2√2iD.±2√2i解析: z2+2=0,∴z2=-2,即z=±√2i.∴z3=(±√2i¿3=∓2√2i.答案:D3.若复数z满足条件|2z+1|=|z-i|,则z对应点的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线1解析:设z=x+yi(x,y∈R),则|2x+2yi+1|=|x+yi-i|,即√(2x+1)2+4y2=√x2+(y-1)2,所以3x2+3y2+4x+2y=0,它表示圆.答案:A4.已知z是纯虚数,z+21-i是实数,则z=()A.2iB.iC.-iD.-2i解析:设纯虚数z=bi(b∈R,且b≠0),代入z+21-i得z+21-i=bi+21-i=(bi+2)(1+i)(1-i)(1+i)=(2-b)+(b+2)i2,由于z+21-i为实数,则b=-2,即z=-2i.答案:D5.复数z¿i1-i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:z¿i1-i=i(1+i)2=−12+12i,对应点的坐标为(-12,12),位于第二象限,选B.2答案:B6.若复数z=cosθ+isinθ(θ∈(0,2π))在复平面上所对应的点在第二象限,则θ的取值范围是()A.(0,π2)B.(π2,π)C.(π,3π2)D.(3π2,2π)解析:由题意,得{cosθ<0,sinθ>0, θ∈(0,2π),∴θ∈(π2,π).答案:B7.当z=−1-i√2时,z100+z50+1的值等于()A.1B.-1C.iD.-i解析:z100+z50+1¿(-1-i√2)100+(-1-i√2)50+1=(1-i)100250+(1-i)50225+1=(-2i)50250+(-2i)25225+1=−i.答案:D8.若复数z满足1-z1+z=i,则∨1+z∨等于()3A.0B.1C.√2D.2解析: 1-z1+z=i,∴1−z=i+zi.∴(1+i)z=1-i.∴z¿1-i1+i=−i.∴|1+z|=|1-i|¿√2.答案:C9.若z=4+3i,则z|z|=()A.1B.-1C.45+35iD.45−35i解析:因为z=4+3i,所以它的模为|z|=|4+3i|¿√42+32=5,共轭复数为z=4−3i.故z|z|=45−35i,选D.答案:D10.若1+√2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则()A.b=2,c=3B.b=-2,c=3C.b=-2,c=-1D.b=2,c=-14解析:利用实系数方程的根与系数的关系求解. 实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个虚根为1+√2i,∴其共轭复数1−√2i也是方程的根.由根与系数的关系,知{(1+√2i)+(1-√2i)=-b,(1+√2i)(1-√2i)=c,∴b=-2,c=3.答案:B11.已知复数(x-2)+yi(x,y∈R)对应的向量的模为√3,则yx的最大值是()A.√32B.√33C.√3D.12解析:由√(x-2)2+y2=√3,得(x-2)2+y2=3,此方程表示如图所示的圆C,则yx的最大值为切线OP的斜率.由|CP|¿√3,∨OC∨¿2,得∠COP¿π3,所以切线OP的斜率为√3,故选C.答案:C512.若实数x,y,θ有以下关系:x+yi=3+5cosθ+i(-4+5sinθ)(其中i是虚数单位),则x2+y2的最大值为()A.10B.16C.25D.100解析: x+yi=3+5cosθ+i(-4+5sinθ),∴x=3+5cosθ,y=-4+5sinθ,x2+y2=(3+5cosθ)2+(-4+5sinθ)2=50-40sinθ+30cosθ=50-50sin(θ-φ¿(tanφ=34). sin(θ-φ)∈[-1,1],∴x2+y2的最大值为100.答案:D二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.若实数m满足等式|log3m+4i|=5,则m=.解析: |log3m+4i|¿√(log3m)2+42=5,∴(log3m)2=9,∴log3m=±3.∴m=27或m¿127.答案:27或127614.设z2=z1−iz1(其中z1表示z1的共轭复数),已知z2的实部是−1,则z2的虚部为¿解析:设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=z1−iz1=a+bi−i(a−bi)=(a−b)−(a−b)i,因为z2的实部是-1,所以a-b=-1,所以z2的虚部为1.答案:115.若z1=2-i,z2=−12+2i,z1,z2在复平面内所对应的点分别为Z1,Z2,则这两点之间的距离为¿解析:向量⃗Z1Z2对应的复数是z2-z1¿(-12+2i)−(2−i)=−52+3i,∴¿⃗Z1Z2∨¿√(-52)2+32=√612.答案:√61216.设α,β是一元二次方程x2-2x+m=0的两个虚根,若|αβ|=4,则实数m=.解析:由题意,得Δ=4-4m<0,解得m>1.又原方程可化为(x-1)2=1-m,故两虚根为x=1±√m-1i,两个虚根为共轭复数,7故|αβ|=1+m-1=m=4,故m=4.答案:4三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(10分)已知复数z=(2+i)m2−6m1-i−2(1−i).求实数m取什么值时,复数z是:(1)零;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)复平面上第二、四象限角平分线上的点对应的复数.解:由于m∈R,所以复数z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.(1)当{2m2-3m-2=...
