四直角三角形的射影定理自我小测1．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3，则△ACD与△CBD的相似比为()A．B．C．D．不确定2．在Rt△MNP中，MN⊥MP，MQ⊥PN于Q，MN＝3，PN＝9，则NQ等于()A．1B．3C．9D．273．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若＝，则等于()A．B．C．D．4．已知在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若AD＝p，BD＝q，则tanA的值是()A．B．C．D．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝5，BD＝8，则S△CDA∶S△CDB为()A．5∶8B．25∶64C．25∶39D．25∶896．已知在梯形ABCD中，DC∥AB，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，AC＝6cm，则此梯形的面积为__________．7．如图，在Rt△ABP中，∠ABP＝90°，BC⊥AP，垂足为C，且AB＝2，AC＝4，则PB＝__________.8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CD＝，AB＝5，则AD＝__________.9．在△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，BD＝144，CD＝60，求AD，AB，AC，BC的长．10．如图，分别在正方形ABCD的边BC和CD上取点H和M，且＝＝，AH和BM相交于点P，求证：AP＝9PH.1参考答案1．解析：如图，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得CD2＝AD·BD，即＝，又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD.又∵AD∶BD＝2∶3，设AD＝2x，BD＝3x(x＞0)，∴CD2＝6x2.∴CD＝x，易知△ACD与△CBD的相似比为＝＝.答案：C2．解析：由射影定理得MN2＝NQ·NP，∴32＝9NQ，∴NQ＝1.答案：A3．解析：如图，由射影定理，得AC2＝CD·BC，AB2＝BD·BC，∴＝＝2，即＝，∴＝.答案：C4．解析：由射影定理得CD2＝AD·BD＝pq，∴CD＝，∴tanA＝＝.答案：C5．解析：由题意知△CDA∽△BDC，∴＝2＝.根据射影定理，得AC2＝AD·AB，CB2＝BD·AB，∴＝＝＝.答案：A6．解析：如图，过C点作CE⊥AB于E.在Rt△ACB中，∵AB＝10cm，AC＝6cm，∴BC＝8cm.在Rt△ABC中，由射影定理易得BE＝6.4cm，AE＝3.6cm.∴CE＝＝4.8(cm)．∴AD＝4.8cm.2又∵在梯形ABCD中，CE⊥AB，∴DC＝AE＝3.6cm.∴S梯形ABCD＝＝32.64(cm2)．答案：32.64cm27．解析：∵在Rt△ABP中，∠ABP＝90°，BC⊥AP，∴AB2＝AC·AP，即(2)2＝4AP，解得AP＝6.在Rt△ABP中，由勾股定理，得BP＝＝＝2.答案：28．解析：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴CD2＝AD·DB.∵CD＝，∴AD·DB＝6.又AB＝5，∴DB＝5－AD.∴AD(5－AD)＝6，解得AD＝2或3.答案：2或39．解：由直角三角形的射影定理得CD2＝AD·BD，即602＝144AD，解得AD＝25，AB＝AD＋BD＝169，AC2＝AD·AB＝25×169，所以AC＝65.又BC2＝BD·AB＝144×169，所以BC＝156.故AD＝25，AB＝169，AC＝65，BC＝156.10．证明：在正方形ABCD中，∵＝＝，∴＝＝，∴＝＝.又∠ABH＝∠C＝90°，∴△ABH∽△BCM，∠PBH＝∠BAH.又∵∠BAH＋∠BHA＝90°，∴∠PBH＋∠BHP＝90°，即BP⊥AH.在Rt△ABH中，设BH＝k，则AB＝3k，AH＝k.∴AB2＝AP·AH，BH2＝PH·AH.∴＝＝＝.∴AP＝9PH.3
