第7讲定积分与微积分基本定理[基础题组练]1．定积分(3x＋ex)dx的值为()A．e＋1B．eC．e－D．e＋解析：选D.(3x＋ex)dx＝＝＋e－1＝＋e.2．若f(x)＝f(f(1))＝1，则a的值为()A．1B．2C．－1D．－2解析：选A.因为f(1)＝lg1＝0，f(0)＝3t2dt＝t3|＝a3，所以由f(f(1))＝1得a3＝1，所以a＝1.3．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝()A．－1B．－C.D．1解析：选B.因为f(x)＝x2＋2f(x)dx，所以f(x)dx＝|＝＋2f(x)dx，所以f(x)dx＝－.4．(2019·湖南湘中名校联考)设f(x)＝则f(x)dx的值为()A.＋B.＋3C.＋D.＋3解析：选A.f(x)dx＝dx＋(x2－1)dx＝π×12＋＝＋，故选A.5．由曲线y＝x2和曲线y＝围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为()A.B.C.D.解析：选A.由解得或所以阴影部分的面积为(－x2)dx＝.故选A.6．定积分(x2＋sinx)dx＝________．解析：(x2＋sinx)dx＝x2dx＋sinxdx＝2x2dx＝2·＝.答案：7.(x2tanx＋x3＋1)dx＝________．解析：因为x2tanx＋x3是奇函数．所以(x2tanx＋x3＋1)dx＝1dx＝x|＝2.答案：28．一物体受到与它运动方向相反的力：F(x)＝ex＋x的作用，则它从x＝0运动到x＝1时F(x)所做的功等于________．解析：由题意知W＝－dx＝－＝－－.答案：－－9．求下列定积分：(1)dx；(2)(cosx＋ex)dx.解：(1)dx＝xdx－x2dx＋dx＝|－|＋lnx|＝－＋ln2＝ln2－.(2)(cosx＋ex)dx＝cosxdx＋exdx＝sinx|＋ex|＝1－.10．已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1，2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的面积．解：因为(1，2)为曲线f(x)＝x3－x2＋x＋1上的点，设过点(1，2)处的切线的斜率为k，则k＝f′(1)＝(3x2－2x＋1)|x＝1＝2，所以过点(1，2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形如图中阴影部分：由可得交点A(2，4)，O(0，0)，故y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形的面积S＝(2x－x2)dx＝|＝4－＝.[综合题组练]1．由曲线xy＝1，直线y＝x，x＝3所围成的封闭平面图形的面积为()A.B．4－ln3C．4＋ln3D．2－ln3解析：选B.画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数．由曲线xy＝1，直线y＝x，x＝3所围成的封闭的平面图形如图所示：由得或由得故阴影部分的面积为dx＝＝4－ln3.2．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．解析：f(x)dx＝(ax2＋c)dx＝＝a＋c＝f(x0)＝ax＋c，所以x＝，x0＝±.又因为0≤x0≤1，所以x0＝.答案：3.(＋ex－1)dx＝________．解析：(＋ex－1)dx＝dx＋(ex－1)dx.因为dx表示单位圆的上半部分的面积，所以dx＝.而(ex－1)dx＝(ex－x)＝(e1－1)－(e－1＋1)＝e－－2，所以(＋ex－1)dx＝＋e－－2.答案：＋e－－24．若函数f(x)在R上可导，f(x)＝x3＋x2f′(1)，则f(x)dx＝________．解析：因为f(x)＝x3＋x2f′(1)，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)．所以f′(1)＝3＋2f′(1)，解得f′(1)＝－3.所以f(x)＝x3－3x2.故f(x)dx＝(x3－3x2)dx＝＝－4.答案：－45．(创新型)如图所示，过点A(6，4)作曲线f(x)＝的切线l.(1)求切线l的方程；(2)求切线l，x轴及曲线f(x)＝所围成的封闭图形的面积S.解：(1)由f(x)＝，所以f′(x)＝.又点A(6，4)为切点，所以f′(6)＝，因此切线方程为y－4＝(x－6)，即x－2y＋2＝0.(2)令f(x)＝0，则x＝2，即点C(2，0)．在x－2y＋2＝0中，令y＝0，则x＝－2，所以点B(－2，0)．故S＝dx－dx＝－(4x－8)＝.6．(应用型)如图，在曲线C：y＝x2，x∈[0，1]上取点P(t，t2)，过点P作x轴的平行线l.曲线C与直线x＝0，x＝1及直线l围成的图形包括两部分，面积分别记为S1，S2.当S1＝S2时，求t的值．解：根据题意，直线l的方程是y＝t2，且0＜t＜1.结合题图，得交点坐标分别是A(0，0)，P(t，t2)，B(1，1)．所以S1＝(t2－x2)dx＝|＝t3－t3＝t3，0＜t＜1.S2＝(x2－t2)dx＝|＝－＝t3－t2＋，0＜t＜1.由S1＝S2，得t3＝t3－t2＋，所以t2＝.又0＜t＜1，所以t＝.所以当t＝时，S1＝S2.
