第二章2.5第1课时等比数列的前n项和A级基础巩固一、选择题1．已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表示{an}的前n项和．若a1＝3，a2a4＝144，则S10的值是(D)A．511B．1023C．1533D．3069[解析]由题意知a2a4＝144，即a1q·a1q3＝144，所以aq4＝144，∴q4＝16，∴q＝2，∴S10＝＝3(210－1)＝3069.2．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于(C)A．33B．72C．84D．189[解析]设等比数列公比为q. a1＋a2＋a3＝21且a1＝3，∴a1(1＋q＋q2)＝21，∴1＋q＋q2＝7，∴q2＋q－6＝0，∴q＝2或q＝－3(舍)，又 a3＋a4＋a5＝a1q2(1＋q＋q2)，∴(a3＋a4＋a5)＝3×4×7＝84.3．等比数列{an}中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q为(C)A．2B．－2C．2或－2D．2或－1[解析]S4＝1，S8＝S4＋q4·S4＝1＋q4＝17∴q＝±2.4．在等比数列{an}中，a1＝a，前n项和为Sn，若数列{an＋1}成等差数列，则Sn等于(C)A．an＋1－aB．n(a＋1)C．naD．(a＋1)n－1[解析]利用常数列a，a，a，…判断，则存在等差数列a＋1，a＋1，a＋1，…或通过下列运算得到：2(aq＋1)＝(a＋1)＋(aq2＋1)，∴q＝1，Sn＝na.5．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是(D)A．7B．9C．63D．7或63[解析]由S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，即(21－S10)2＝S10(49－21)，∴S10＝7或63.6．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(C)A．16(1－4－n)B．16(1－2－n)1C．(1－4－n)D．(1－2－n)[解析] ＝q3＝，∴q＝.∴an·an＋1＝4·()n－1·4·()n＝25－2n，故a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n＝＝(1－4－n)．二、填空题7．已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项和，某同学经计算得S2＝24，S3＝38，S4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则算错的那个数是__S2__，该数列的公比是____.[解析]设等比数列的公比为q，若S2计算正确，则有q＝2，但此时S3≠38，S4≠65，与题设不符，故算错的就是S2，此时，由S3＝38可得q＝，且S4＝65也正确．8．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为__11a(1.15－1)__.[解析]依题意知，每年的产值构成一等比数列，其公比为1＋10%＝1.1.其首项为1.1a，故从今年起5年内，该厂的总产值为：S5＝＝11a(1.15－1)．三、解答题9．在等比数列{an}中，(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5；(3)若q＝2，S4＝1，求S8.[解析](1)解法一：由Sn＝，an＝a1qn－1以及已知条件得，∴a1·2n＝192，∴2n＝.∴189＝a1(2n－1)＝a1(－1)，∴a1＝3.又 2n－1＝＝32，∴n＝6.解法二：由公式Sn＝及条件得189＝，解得a1＝3，又由an＝a1·qn－1，得96＝3·2n－1，解得n＝6.(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得，即 a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得q3＝.即q＝，∴a1＝8.∴a4＝a1q3＝8×()3＝1，S5＝＝＝.(3)设首项为a1， q＝2，S4＝1，∴＝1，即a1＝.2∴S8＝＝＝17.10．(2017·全国卷Ⅱ文，17)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；(2)若T3＝21，求S3.[解析]设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)·d，bn＝qn－1.由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②联立①和②解得(舍去)，.因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.解得q＝－5或q＝4.当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.B级素养提升一、选择题1．(2018－2019学年度山东荣成六中高二月考)设Sn是等比数列{an}的前n项和，＝，则等于(B)A．B．C．D．[解析]设公比为q， ＝，∴q≠1.∴＝·＝＝，∴q3＝2.∴＝＝·＝＝＝.2．设{an}是等比数列，Sn是{an}的前n项和，对任意正整数n，有an＋2an＋1＋an＋2＝0，又a1＝2，则S101的值为(A)A．2B．200C．－2D．0[解析]设公比为q， an＋2an＋1＋an＋2＝0，∴a1＋2a2＋a3＝0，∴a1＋2a1q＋a1q2＝0，∴q2＋2q＋1＝0，∴q＝－1，又 ...
