2.2.2双曲线的简单几何性质[A基础达标]1．下面双曲线中有相同离心率，相同渐近线的是()A.－y2＝1，－＝1B.－y2＝1，y2－＝1C．y2－＝1，x2－＝1D.－y2＝1，－＝1解析：选A.B中渐近线相同但e不同；C中e相同，渐近线不同；D中e不同，渐近线相同．故选A.2．若双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a等于()A．2B.C.D．1解析：选D.因为c＝，所以＝＝2，所以a＝1.3．双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为()A．y2－3x2＝36B．x2－3y2＝36C．3y2－x2＝36D．3x2－y2＝36解析：选A.椭圆4x2＋y2＝64即＋＝1，焦点为(0，±4)，离心率为，所以双曲线的焦点在y轴上，c＝4，e＝，所以a＝6，b2＝12，所以双曲线方程为y2－3x2＝36.4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为()A.－y2＝1B．x2－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选A.由题意得c＝，＝，则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选A.因为双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心为C(3，0)．又渐近线方程与圆C相切，即直线bx－ay＝0与圆C相切，所以＝2，所以5b2＝4a2.①又因为－＝1的右焦点F2(，0)为圆心C(3，0)，所以a2＋b2＝9.②由①②得a2＝5，b2＝4.所以双曲线的标准方程为－＝1.6．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点为直线3x－4y＋12＝0与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是________．解析：由双曲线的实轴在x轴上知其焦点在x轴上，直线3x－4y＋12＝0与x轴的交点坐标为(－4，0)，故双曲线的一个焦点为(－4，0)，即c＝4.设等轴双曲线方程为x2－y2＝a2，则c2＝2a2＝16，解得a2＝8，所以双曲线方程为x2－y2＝8.答案：x2－y2＝817．已知点(2，3)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．解析：由题意知－＝1，c2＝a2＋b2＝4得a＝1，b＝，所以e＝2.答案：28．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为________．解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：x＝c或x＝－c，代入－＝1得y2＝b2＝，所以y＝±，故|AB|＝，依题意＝4a，所以＝2，所以＝e2－1＝2，所以e＝.答案：9．求以椭圆＋＝1的两个顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程．解：椭圆的焦点F1(－，0)，F2(，0)，即为双曲线的顶点．因为双曲线的顶点和焦点在同一直线上，所以双曲线的焦点应为椭圆长轴的端点A1(－4，0)，A2(4，0)，所以c＝4，a＝，所以b＝＝3，故所求双曲线的方程为－＝1.实轴长为2a＝2，虚轴长为2b＝6，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.10．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，求双曲线C的离心率．解：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c，0)，则直线l的方程为y＝(x－c)．因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得－＝1，化简得y＝－b或y＝b(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，－b)，代入直线方程得－b＝(2a－c)，化简可得离心率e＝＝2＋.[B能力提升]11．已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选D.根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4，得xA＝，yA＝，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为－＝1，故选D.12．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若MF1·MF2<0，则y0的取值范围是()A.B.C.D.解析：选A.由题意知a2＝2，b2＝1，...
