第7讲正弦定理和余弦定理1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sinAcosB＝sinC，则△ABC一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形2．(2017年山东)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是()A．a＝2bB．b＝2aC．A＝2BD．B＝2A3．(2016年新课标Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sinA＝()A.B.C.D.4．(2017年河南郑州模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sinB＋sinC)＝(a－c)sinA，则角B的大小为()A．30°B．45°C．60°D．120°5．(2013年新课标Ⅰ)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()A．10B．9C．8D．56．(2016年山东德州模拟)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积是()A.B.C.或D.或7．(2017年湖北孝感一模)在锐角三角形ABC中，已知AB＝2，BC＝3，其面积S△ABC＝3，则AC＝________.8．(2015年重庆)在△ABC中，B＝120°，AB＝，角A的平分线AD＝，则AC＝________.9．(2017年北京)在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.(1)求sinC的值；(2)若a＝7，求△ABC的面积．10．(2017年新课标Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.(1)求cosB；(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.1第7讲正弦定理和余弦定理1．B解析：方法一，由已知，得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)＝0.因为－π＜A－B＜π，所以A＝B.方法二，由正弦定理，得2acosB＝c，再由余弦定理，得2a·＝c⇒a2＝b2⇒a＝b.2．A解析：sin(A＋C)＋2sinBcosC＝2sinAcosC＋cosAsinC，所以2sinBcosC＝sinAcosC⇒2sinB＝sinA⇒2b＝a.故选A.3．D解析：设BC边上的高线为AD，则BC＝3AD，DC＝2AD.所以AC＝＝AD.由正弦定理知，＝，即＝.解得sinA＝.故选D.4．A解析：由正弦定理＝＝及(b－c)·(sinB＋sinC)＝(a－c)sinA，得(b－c)(b＋c)＝(a－c)a，即b2－c2＝a2－ac.∴a2＋c2－b2＝ac.∵cosB＝，∴cosB＝.∴B＝30°.5．D解析：23cos2A＋cos2A＝25cos2A－1＝0，cosA＝或cosA＝－(舍)，a2＝b2＋c2－2bccosA,49＝b2＋36－12b×，5b2－12b－65＝0，(5b＋13)(b－5)＝0，且b>0，所以b＝5.6．C解析：由正弦定理，得＝.解得sinC＝.由题意知C有两解．当C＝时，A＝，此时S△ABC＝AB·AC·sinA＝；当C＝时，A＝，此时S△ABC＝AB·AC·sinA＝.故选C.7．3解析：依题意有S△ABC＝AB×BC×sinB＝×2×3sinB＝3，sinB＝.又角B为锐角，所以cosB＝.所以AC＝＝＝3.8.解析：由正弦定理，得＝，即＝.解得sin∠ADB＝，∠ADB＝45°.从而∠BAD＝15°＝∠DAC.所以C＝180°－120°－30°＝30°，AC＝2ABcos30°＝.9．解：(1)在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.sinC＝＝.(2)因为a＝7，c＝a＝3，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即72＝b2＋32－2×b×3×.解得b＝8或b＝－5(舍)．所以S△ABC＝bcsinA＝×8×3×＝6.10．解：(1)由A＋C＝π－B，sin(A＋C)＝sinB＝8sin2＝4(1－cosB)，两边平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0.解得cosB＝1(舍)或cosB＝.(2)由cosB＝，得sinB＝.故S△ABC＝acsinB＝ac＝2.∴ac＝.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)＝36－2××＝4.所以b＝2.2
