高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第7讲 双曲线练习 理 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP免费

第7讲双曲线一、选择题1.(2017·郑州模拟)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()A.y＝±xB.y＝±xC.y＝±xD.y＝±2x解析因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2，所以c＝，所以a＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选B.答案B2.(2015·广东卷)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析因为所求双曲线的右焦点为F2(5，0)且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为－＝1，故选C.答案C3.(2017·山西省四校联考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，右焦点F到渐近线的距离为2，点F到原点的距离为3，则双曲线C的离心率e为()A.B.C.D.解析 右焦点F到渐近线的距离为2，∴F(c，0)到y＝x的距离为2，即＝2，又b＞0，c＞0，a2＋b2＝c2，∴＝b＝2，又 点F到原点的距离为3，∴c＝3，∴a＝＝，∴离心率e＝＝＝.答案B4.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A.B.C.D.解析由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2.由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝.答案C5.(2017·成都调研)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝()A.B.2C.6D.4解析由题意知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，将x＝c＝2代入得y＝±2，即A，B两点的坐标分别为(2，2)，(2，－2)，所以|AB|＝4.答案D二、填空题6.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________.解析由已知，得a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝2.答案27.(2016·北京卷)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.解析取B为双曲线右焦点，如图所示. 四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝|OB|＝2，又∠AOB＝，∴＝tan＝1，即a＝b.又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.答案28.(2016·山东卷)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0).若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________.解析由已知得|AB|＝，|BC|＝2c，∴2×＝3×2c.又 b2＝c2－a2，整理得：2c2－3ac－2a2＝0，两边同除以a2得2－3－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去).答案2三、解答题9.(2017·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－).(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1·MF2＝0.(1)解 e＝，∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0). 双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线的方程为x2－y2＝6.(2)证明法一由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，∴kMF1＝，kMF2＝，kMF1·kMF2＝＝－. 点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴MF1·MF2＝0.法二由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，MF1＝(－2－3，－m)，MF2＝(2－3，－m)，∴MF1·MF2＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2， 点M(3，0)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴MF1·MF2＝0.10.已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且OA·OB＞2(其中O为原点)，求k的取值范围.解(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.故C2的方程为－y2＝1.(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得∴k2≠且k2＜1.①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－.∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.又 OA·OB＞2，得x1x2＋y1y2＞2，∴＞2，即＞0，解得＜k2＜3.②由①②得＜k2＜1，故k的取值范围为∪.11.过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶...