第2课向量的数量积【考点导读】1.理解平面向量数量积的含义及几何意义.2.掌握平面向量数量积的性质及运算律.3.掌握平面向量数量积的坐标表达式.4.能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、长度的问题.【基础练习】1.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么2.在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，，，则的可能值个数为2个3.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的垂心（填重心、垂心、外心、内心）。4.若,，与的夹角为，若，则的值为5.若，且，则向量与的夹角为120°【范例导析】例1、已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角的余弦值。分析:利用及求解.解：由题意，，且与的夹角为，所以，，，同理可得而，设为与的夹角，则点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。例2.已知平面上三个向量、、的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，（1）求证：⊥；（2）若，求的取值范围.1分析:问题（1）通过证明证明,问题（2）可以利用解：（1）∵，且、、之间的夹角均为120°，∴∴（2）∵，即也就是∵，∴所以或．解:对于有关向量的长度、夹角的求解以及垂直关系的判断通常是运用平面向量的数量积解决例3.如图，在直角△ABC中，已知，若长为的线段以点为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值分析:本题涉及向量较多,可通过向量的加减法则得,再结合直角三角形和各线段长度特征法解决问题解：点拨:运用向量的方法解决几何问题,充分体现了向量的工具性,对于大量几何问题,不仅可以2例3用向量语言加以叙述,而且完全可以借助向量的方法予以证明和求解,从而把抽象的问题转化为具体的向量运算.例4.平面上有以O为圆心，以1为半径的圆，圆上有三点A,B,C,向量满足等式,这里.（1）若证明：；（2）若证明：为正三角形.分析:对于问题（1）,抓住所证结论的特征,可将题目所给表达式两边同平方证得,对于问题（2）,由于是有关三角形形状的问题可以结合余弦定理解决.解：（1）由两边平方得=,又,∵∴,∴（3）由（1）知，而∴，∴=3,∴,同理可得，,即AB=BC=CA,∴为正三角形.点拨:要注意平面向量与三角、平几、解几等知识的综合运用，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。反馈练习：1.已知下列命题中：（1）若，且，则或，（2）若，则或（3）若不平行的两个非零向量，满足，则（4）若与平行，则,其中真命题的个数是2.已知向量满足则与的夹角为3.在直角中，是斜边上的高，有下列结论：3（1）；（2）；（3）；（4），则其中不成立的是（3）4.如图，在四边形ABCD中，，则的值为45.已知向量，对任意t∈R，恒有，则06.若向量满足,的夹角为60°，则=7.若向量,则8.已知向量的夹角为，,则69.在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是_-2_。10.已知|a|=4,|b|=5,|a+b|=,求：①a·b；②(2a－b)·(a+3b)解：（1）|a+b|2=（a+b）2=a2+2ab+b2=|a|2+2a·b+|b|2，∴（2）（2a－b）·（a+3b）=2a2+5a·b－3b2=2|a|2+5a·b－3|b|2=2×42+5×（－10）－3×52=－93.11.已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.解：∵且a+3b与7a-5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，∴（a+3b）·（7a-5b）=0，（a－4b）·（7a－2b）=0∴7a2＋16a·b－15b2=0，7a2－30a·b＋8b2=0，∴b2=2a·b，|a|=|b|∴∴12.四边形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=b·c=c·d=d·a，判断四边形ABCD是什么图形？分析：在四边形ABCD中，a+b+c+d=0，这是一个隐含条件，对a+b=－（c+d），两边平方后，用4DCBA第4题a·b=b·c=d·c代入，从四边形的边长与内角的情况来确定四边形的形状.解：∵a+b+c+d=0，∴a+b=－（c+d），∴（a+b）2=（c+d）2，即|a|2+2a·b+|b|2=|c|2+2c·d+|d|2，∵a·b=c·d，∴|a|2+|b|2=|c|2+|d|2……①同理：|a|2+|d|2=|b|2+|c|2……②①，②两式相减得：|b|2=|d|2，|a|2=|c|2，即|b|=|d|，|a|=|c|.∴ABCD为平行四边形.又∵a·b=b·c，即b·（a－c）=0，而a=－c，∵b·（2a）=0∴a⊥b，∴四边形ABCD为矩形.5
