第五节椭圆1．椭圆的定义平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆．两定点F1，F2叫椭圆的焦点．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．(1)当2a>|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段；(3)当2a<|F1F2|时，P点不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．(2015·广东卷)已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝()A．2B．3C．4D．9解析：由左焦点为F1(－4，0)知c＝4.又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3或－3.又m>0，故m＝3.答案：B3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：椭圆的焦点在x轴上；c＝1.又离心率为＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆的方程为＋＝1.答案：D4．(2014·大纲全国卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为()A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1解析： ＋＝1(a>b>0)的离心率为，∴＝.又 过F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为4，∴4a＝4，∴a＝.∴b＝，∴椭圆方程为＋＝1.答案：A5．椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．解析：直线x＝m过右焦点(1，0)时，△FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a＝8，此时，|AB|＝2×＝＝3，∴S△FAB＝×2×3＝3.答案：3一条规律椭圆焦点位置与x2，y2系数之间的关系给出椭圆方程＋＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔m>n>0；椭圆的焦点在y轴上⇔00)，则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：由＋＝1⇒⇒c2＝a2－b2＝.∴e2＝，e＝.答案：B4．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C：＋＝1的左焦点为F(－c，0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为()A.B．1C．2D．4解析：圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，则由题意得m2＋3＝4，即m2＝1(m<0)，∴m＝－1，则圆心M的坐标为(1，0)．由题意知直线l的方程为x＝－c，又 直线l与圆M相切，∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.答案：C5．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为()A．2B．3C．6D．8解析：由题意知，O(0，0)，F(－1，0)，设P(x，y)，则OP＝(x，y)，FP＝(x＋1，y)，∴OP·FP＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x，又 ＋＝1，∴y2＝3－x2，∴OP·FP＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2， －2≤x≤2，∴当x＝...
