§4.7正弦定理、余弦定理1．正弦、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(5)cosA＝cosB＝；cosC＝2.S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.3．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA
b解的个数一解两解一解一解【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在△ABC中，A>B必有sinA>sinB．(√)(2)若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是(，2)．(√)(3)若△ABC中，acosB＝bcosA，则△ABC是等腰三角形．(√)(4)在△ABC中，tanA＝a2，tanB＝b2，那么△ABC是等腰三角形．(×)(5)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，三角形为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，三角形为钝角三角形．(×)(6)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于.(×)1．(2013·湖南改编)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asinB＝b，则角A＝.答案解析在△ABC中，利用正弦定理得2sinAsinB＝sinB，∴sinA＝.又A为锐角，∴A＝.2．在△ABC中，若sin2A＋sin2B，∴△ABC为钝角三角形．3．(2014·江西改编)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是．答案解析 c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.① C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab.②由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.4．(2014·广东)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，则＝.答案2解析方法一因为bcosC＋ccosB＝2b，所以b·＋c·＝2b，化简可得＝2.方法二因为bcosC＋ccosB＝2b，所以sinBcosC＋sinCcosB＝2sinB，故sin(B＋C)＝2sinB，故sinA＝2sinB，则a＝2b，即＝2.题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(2013·山东)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．解(1)由余弦定理得：cosB＝＝＝，即a2＋c2－4＝ac.∴(a＋c)2－2ac－4＝ac，∴ac＝9.由得a＝c＝3.(2)在△ABC中，cosB＝，∴sinB＝＝＝.由正弦定理得：＝，∴sinA＝＝＝.又A＝C，∴00，∴sinA＝. cosB＝>0，∴sinB＝.∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝.由正弦定理知＝，∴c＝＝＝.题型二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例2在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝，试判断△ABC的形状．解(1)由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝＝， 0°
