考点20平面向量【考纲要求】1.了解向量的实际背景．2.了解向量线性运算的性质及其几何意义．3.了解平面向量的基本定理及其意义．4.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．5.理解平面向量的概念及向量的几何表示，理解两个向量相等的含义．6.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．7.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．8.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．9.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．10.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．11.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．12.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．13.会用向量方法解决某些简单的实际问题．14会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．【命题规律】高考对平面向量的考查，在选择题或填空题中一般是平面向量的线性运算、坐标运算，用向量方法解决平面几何问题，在解答题中也会出现与共线向量、数量积有关的问题.【典型高考试题变式】（一）平面向量的坐标运算例1.【2017山东卷】已知向量a=（2,6）,b=，若，则.【答案】【解析】由得，解得.【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略:（1）利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A,B,C三点共线等价于AB与AC共线.【变式1】【改变条件】已知向量a=（2,6），ab=，若，则.【答案】3【解析】由已知可得，因为，所以，解得.【变式2】【改变结论】已知向量a=（2,6），b=，若，则.【答案】【解析】由得，解得，所以.例2.【2017新课标卷】已知向量，且，则.【答案】2【解析】由题意可得：，所以.【名师点睛】向量垂直：.【变式1】【改变例题中的条件】已知向量，（，1）．若向量与垂直，则________．【答案】7【解析】由题得，因为向量与垂直，所以，所以，解得.【变式2】【改变例题中的结论】已知向量，且，则.【答案】【解析】由题意，，.所以，所以.（二）平面向量的夹角例3.【2016北京卷】已知向量，则a与b夹角的大小为_________.【答案】【名师点睛】由向量数量积的定义(为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.【变式1】【改变已知条件】已知向量，，则a与b夹角的大小为_________.【答案】【解析】由已知得，因为，所以.【变式2】【改变例题中的结论】已知向量，若a与b夹角为，则_________.【答案】【解析】由已知得，因为，所以，所以.（三）数量积的运用例4.【2017天津卷】在△ABC中，，AB=3，AC=2.若，（），且，则的值为.【答案】【解析】，，所以，所以.【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，向要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等.【变式1】【改变例题的条件】在等边△ABC中，若，，（），且，则的值为.【答案】【变式2】【改变例题的条件与结论】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为.【答案】【解析】设，，所以，，，所以.（四）平面向量与三角函数的交汇例5.【2017江苏卷】已知向量（1）若a∥b，求x的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值.【解析】（1）因为，，，所以.若，则，与矛盾，故.于是.又，所以.（2）.因为，所以，从而.于是，当，即时，取到最大值3；当，即时，取到最小值.【名师点睛】向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们...
