第一讲DIYIJIANG坐标系一平面直角坐标系课后篇巩固探究A组1.若点P(-2015,2016)经过伸缩变换{x'=12016x,y'=12015y后所得的点在曲线y'=kx'上,则k=()A.1B.-1C.2016D.-2016解析因为点P(-2015,2016),所以{x'=-20152016,y'=20162015,将其代入y'=kx',得k=x'y'=-1.答案B2.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换{x'=7x,y'=4y后,曲线C变为曲线x'2+8y'2=1,则曲线C的方程为()A.49x2+128y2=1B.49x2+64y2=1C.49x2+32y2=1D.249x2+12y2=1解析将伸缩变换{x'=7x,y'=4y代入x'2+8y'2=1中,得49x2+128y2=1,故曲线C的方程为49x2+128y2=1.答案A3.曲线y=sin(x+π6)经过伸缩变换{x'=4x,y'=5y后的曲线方程是()A.y'=5sin(4x'+π6)B.y'=15sin(4x'+π6)C.y'=5sin(14x'+π6)D.y'=15sin(14x'+π6)解析由伸缩变换{x'=4x,y'=5y,得{x=14x',y=15y'.将其代入y=sin(x+π6)中,得15y'=sin(14x'+π6),即y'=5sin(14x'+π6).答案C4.导学号73574002已知平面内有一条固定的线段AB,|AB|=4.若动点P满足|PA|-|PB|=3,点O为线段AB的中点,则|OP|的最小值是()A.32B.12C.2D.3解析以AB的中点O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.由题意可知点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的一支. 2c=4,∴c=2. 2a=3,∴a=32.∴b2=c2-a2=4-94=74.∴点P的轨迹方程为x294−y274=1(x≥32).由图可知,当点P为双曲线与x轴的右交点时,|OP|最小,|OP|的最小值是32.答案A5.点(2,3)经过伸缩变换{2x'=x,y'=3y后得到的点的坐标为.解析由伸缩变换公式{2x'=x,y'=3y得{x'=12x=1,y'=3y=9,即变换后的点的坐标为(1,9).答案(1,9)6.到直线x-y=0和直线2x+y=0的距离相等的动点的轨迹方程为.解析设动点的坐标为(x,y),则依题意有|x-y|√2=|2x+y|√5,整理得x2+6xy-y2=0.答案x2+6xy-y2=07.将椭圆x225+y29=1按φ:{x'=15x,y'=13y变换后的曲线围成图形的面积为.解析设椭圆x225+y29=1上任意一点的坐标为P(x,y),按φ变换后对应的点的坐标为P'(x',y'),由φ:{x'=15x,y'=13y得{x=5x',y=3y'.将其代入椭圆方程,得(5x')225+(3y')29=1,即x'2+y'2=1.因为圆的半径为1,所以圆的面积为π.答案π8.导学号73574003已知△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,AB上的中线,则BE与CF的位置关系是.解析如图,以△ABC的顶点A为原点O,边AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(c,0),F(c2,0).设C(x,y),则E(x2,y2),所以kBE=-y2c-x,kCF=2y2x-c.由b2+c2=5a2,得|AC|2+|AB|2=5|BC|2,即x2+y2+c2=5[(x-c)2+y2],整理得2y2=(2x-c)(2c-x).所以kBE·kCF=-2y2(2x-c)(2c-x)=-1.所以BE与CF互相垂直.答案垂直9.已知在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BC>AD,求证:|AC|=|BD|.证明取BC所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.设A(-a,h),B(-b,0),则D(a,h),C(b,0).所以|AC|=√(b+a)2+h2,|BD|=√(a+b)2+h2.所以|AC|=|BD|.10.在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换{x'=12x,y'=13y后的图形.(1)5x+2y=0;(2)x2+y2=2.解(1)由伸缩变换{x'=12x,y'=13y,得{x=2x',y=3y',将其代入5x+2y=0,得10x'+6y'=0,即5x'+3y'=0.故经过伸缩变换{x'=12x,y'=13y后,直线5x+2y=0变成了直线5x'+3y'=0.(2)将{x=2x',y=3y'代入x2+y2=2,得经过伸缩变换后的图形的方程是x'214+y'219=2,即x'212+y'229=1.故经过伸缩变换{x'=12x,y'=13y后,圆x2+y2=2变成了椭圆x'212+y'229=1.11.导学号73574004在同一平面直角坐标系中,分别求一个伸缩变换使其满足下列曲线的变换,并叙述变换过程.(1)曲线y=2sinx4变换为正弦曲线y=sinx;(2)圆x2+y2=1变换为椭圆x29+y24=1.解(1)将变换后的曲线方程y=sinx改写为y'=sinx'.设满足题意的伸缩变换为{x'=λx(λ>0),y'=μy(μ>0),将其代入y'=sinx'得μy=sinλx.将其即y=1μsinλx,与原曲线的方程比较系数得{λ=14,1μ=2,∴{λ=14,μ=12.所以满足题意的伸缩变换为{x'=14x,y'=12y.即先使曲线y=2sinx4上的点的纵坐标不变,将曲线上的点的横坐标缩短为原来的14,得到曲线y=2sin[14(4x)]=2sinx,再将其纵坐标缩短到原来的12,横坐标不变,得到正弦曲线y=sinx.(2)将变换后的椭圆方程x29+y24=1改写为x'29+y'24=1.设满足题意的伸缩变换为{x'=λx(λ>0),y'=μy(μ>0),将其代入x...
