课时跟踪训练(五)椭圆及其标准方程1．椭圆25x2＋16y2＝1的焦点坐标是()A．(±3,0)B．(±，0)C．(±，0)D．(0，±)2．若椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为()A．5B．6C．4D．13．已知椭圆的焦点F1(－1,0)，F2(1,0)，P是椭圆上的一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆的标准方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝14．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过点P的椭圆的标准方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝15．椭圆5x2－ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k＝________.6．设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是其左、右两焦点，若|PF1|·|PF2|＝8，则|OP|＝________.7．求以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)的椭圆的标准方程．8．点P为椭圆＋y2＝1上一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．答案1．选D椭圆的标准方程为＋＝1，故焦点在y轴上，其中a2＝，b2＝，所以c2＝a2－b2＝－＝，故c＝.所以该椭圆的焦点坐标为，故选D.2．选A由椭圆的定义知a＝5，点P到两个焦点的距离之和为2a＝10.因为点P到一个焦点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为10－5＝5，故选A.3．选C∵F1(－1,0)，F2(1,0)，∴|F1F2|＝2，又∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，1∴|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，即2a＝4.又c＝1，∴b2＝3.∴椭圆的标准方程为＋＝1.4．选A由椭圆定义知：2a＝＋＝＋＝2.∴a＝.∴b＝＝.5．解析：椭圆方程可化为：x2＋＝1，则a2＝－，b2＝1，又c＝2，∴－－1＝4，∴k＝－1.答案：－16．解析：由题意，|PF1|＋|PF2|＝6，两边平方得|PF1|2＋2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝36.因为|PF1|·|PF2|＝8，所以|PF1|2＋|PF2|2＝20.以PF1，PF2为邻边做平行四边形，则|OP|正好是该平行四边形对角线长的一半．由平行四边形的性质知，平行四边形对角线长的平方和等于四边长的平方和，即(2|OP|)2＋(2c)2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)．所以4|OP|2＋(2×2)2＝2×20，所以|OP|＝.答案：7．解：法一：方程9x2＋5y2＝45可化为＋＝1.则焦点是F1(0,2)，F2(0，－2)．设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，∵M在椭圆上，∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝＋＝(2－)＋(2＋)＝4，∴a＝2，即a2＝12.∴b2＝a2－c2＝12－4＝8.∴椭圆的标准方程为＋＝1.法二：由题意知，焦点F1(0,2)，F2(0，－2)，则设所求椭圆方程为＋＝1(λ＞0)，将x＝2，y＝代入，得＋＝1，解得λ＝8，λ＝－2(舍去)．所求椭圆方程为＋＝1.8．解：由题意知，a＝2，b＝1，c＝，|PF1|＋|PF2|＝4.①在△F1PF2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，即12＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|.②①2得：|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝16.③由②③得：|PF1||PF2|＝.∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin60°＝××＝.2
