第一章1.5第2课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用A级基础巩固一、选择题1．若将函数y＝2sin2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为(B)A．x＝－(k∈Z)B．x＝＋(k∈Z)C．x＝－(k∈Z)D．x＝＋(k∈Z)[解析]函数y＝2sin2x的图像向左平移个单位长度，得到的图像对应的函数表达式为y＝2sin2(x＋)，令2(x＋)＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，所以所求对称轴的方程为x＝＋(k∈Z)，故选B．2．若函数f(x)＝2sin是偶函数，则φ的值可以是(A)A．B．C．D．－[解析]由于f(x)是偶函数，则f(x)图象关于y轴即直线x＝0对称，则f(0)＝±2，又当φ＝时，f(0)＝2sin＝2，则φ的值可以是．3．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是(A)A．2，－B．2，－C．4，－D．4，[解析]本题考查正弦型函数的周期与初相．T＝－(－)＝，∴T＝＝π，∴ω＝2．当x＝时，2×＋φ＝，∴φ＝－．4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为(A)A．2B．4C．6D．8[解析]函数f(x)的周期T≤4＝π，则≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2．5．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则f＝(B)A．3或0B．－3或3C．0D．－3或0[解析]由于函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称，则f是函数f(x)的最大值或最小值，则f＝－3或3．二、填空题6．简谐振动s＝3sin，在t＝时的位移s＝.初相φ＝．[解析]当t＝时，s＝3sin＝3×＝．三、解答题7．已知函数y＝cosx＋|cosx|．(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；(3)指出这个函数的单调增区间．[解析](1)y＝cosx＋|cosx|＝函数图象如图所示．(2)由图象知函数是周期函数，且它的周期是2π．(3)由图象知函数的单调增区间为[2kπ－，2kπ](k∈Z)．B级素养提升一、选择题1．设函数f(x)＝2sin(x＋)．若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为(B)A．4B．2C．1D．[解析]f(x)的周期T＝4，|x1－x2|min＝＝2．2．(2017天津高考理科)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f()＝2，f()＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(A)A．ω＝，φ＝B．ω＝，φ＝－C．ω＝，φ＝－D．ω＝，φ＝[解析]∵f()＝2，f()＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，∴f(x)的最小正周期为4(－)＝3π，∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin(x＋φ)．∴2sin(×＋φ)＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z．又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝．3．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则(A)A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数[解析]∵f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝.∵当x＝时，f(x)有最大值，∴×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ，∵－π<φ≤π，∴φ＝.∴f(x)＝2sin(＋)，由此函数图象易得，在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均没单调性，在区间[4π，6π]上是单调增函数．二、填空题4．若将函数y＝sin(ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin(ωx＋)的图象重合，则ω的最小值为．[解析]y＝sin(ωx＋)的图象向右平移个单位后得到y＝sin[ω(x－)＋π]，即y＝sin(ωx＋π－π)，故π－π＋2kπ＝(k∈Z)，即π＝π＋2kπ，ω＝＋6k(k∈Z)，∵ω>0，∴ω的最小值为．5．设函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(－，))的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论：①图象关于点(，0)对称；②图象关于点(，0)对称；③在[0，]上是增函数；④在[－，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为__②④__．[解析]∵T＝π，∴ω＝2.又2×＋φ＝kπ＋，∵φ＝kπ＋.∵φ∈(－，)，∴φ＝，∴y＝sin(2x＋)．由图象及性质可知②④正确．三、解答题6．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)，图象最低点的纵坐标是－，相邻的两个对称中心是和．求：(1)f(x)的解析式；(2)f(x)的值域；(3)f(x)的对称轴．[解析](1)A＝，T＝2＝π，∴＝π.∴ω＝2.∴f(x)＝sin(2x＋φ)．又在f(x)图象上，∴f＝0.∴sin＝0．∴sin＝0．又－π<φ<0，∴φ＝－．∴f(x)＝sin．(2)值域是[－，]．(3)令2x－＝＋kπ(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)．∴对称轴是直线x＝＋(k∈Z)．
