课时分层作业(十五)几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有()A．1条B．2条C．3条D．不确定B[f′(x)＝3x2，由3x2＝3得x＝±1，故选B.]2．若函数f(x)＝cosx，则f′＋f的值为()A．0B．－1C．1D．2A[f′(x)＝－sinx，则f′＝－sin＝－，f＝cos＝.故f′＋f＝0.]3．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0A[由题意，知切线l的斜率k＝4，设切点坐标为(x0，y0)，则k＝4x＝4，∴x0＝1，∴切点为(1,1)，所以l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.]4．正弦曲线y＝sinx上切线的斜率等于的点为()A.B.或C.(k∈Z)D.或(k∈Z)D[y′＝cosx，由cosx＝得x＝2kπ＋或x＝2kπ－，k∈Z.故选D.]5．过曲线y＝cosx上一点P且与曲线在点P处的切线垂直的直线方程为()【导学号：97792136】A．2x－y－＋＝0B.x＋2y－－1＝0C．2x＋y－＋＝0D.x＋2y－＋1＝0A[∵y＝cosx，∴y′＝－sinx，曲线在点P处的切线斜率是y′|x＝＝－sin＝－，∴过点P且与曲线在点P处的切线垂直的直线的斜率为，∴所求的直线方程为y－＝，即2x－y－＋＝0.]二、填空题6．给出下列结论：①(sinx)′＝cosx；②′＝cos；③若f(x)＝，则f′(3)＝－；④(log4x)′＝.其中正确的有__________个．3[因为(sinx)′＝cosx，所以①正确；sin＝，而′＝0，所以②错误；f′(x)＝′＝(x－2)′＝－2x－3，则f′(3)＝－，所以③正确；因为(log4x)′＝，所以④正确．]7．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝__________.e－1[f′(x)＝，则f′(1)＝＝－1，即lna＝－1.所以a＝e－1.]18．曲线y＝lnx在点M(e,1)处的切线的斜率是__________，切线方程为__________．x－ey＝0[y′＝，则y′|x＝e＝，即切线的斜率为，切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.]三、解答题9．求抛物线y＝x2过点的切线方程．[解]设此切线过抛物线上的点(x0，x)．由导数的意义知此切线的斜率为2x0，又因为此切线过点和点(x0，x)，所以＝2x0.由此x0应满足x－5x0＋6＝0，解得x0＝2或3.即切线过抛物线y＝x2上的点(2,4)或(3,9)．所以所求切线方程分别为y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)．化简得y＝4x－4，y＝6x－9.10．已知两条曲线y1＝sinx，y2＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.【导学号：97792137】[解]不存在，理由如下：由于y1＝sinx，y2＝cosx，所以y′1＝cosx，y′2＝－sinx.设两条曲线的一个公共点为点P(x0，y0)，所以两条曲线在点P(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cosx0，k2＝－sinx0.若两条切线互相垂直，则cosx0·(－sinx0)＝－1，即sinx0·cosx0＝1，∴sin2x0＝2，显然不成立，所以这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点处的两条切线互相垂直．[能力提升练]1．若幂函数f(x)＝mxα的图象经过点A，则它在点A处的切线方程是()A．2x－y＝0B．2x＋y＝0C．4x－4y＋1＝0D．4x＋4y＋1＝0C[因为函数f(x)＝mxα为幂函数，所以m＝1.又幂函数f(x)＝xα的图象经过点A，所以α＝，所以f(x)＝x，f′(x)＝，f′＝1，所以f(x)的图象在点A处的切线方程为y－＝x－，即4x－4y＋1＝0.]2．已知点P在曲线y＝2sincos上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A.B.C.D.∪D[∵y＝2sincos＝sinx，∴y′＝cosx，设P(x0，y0)．由题意，知切线的斜率存在，则曲线在点P处的切线的斜率k＝tanα＝cosx0，∴－1≤tanα≤1.∵0≤α<π，∴α∈∪，故选D.]3．已知函数f(x)＝，若f′(a)＝12，则实数a的值为__________．或－2[f′(x)＝，若f′(a)＝12，则或解得a＝或a＝－2.]4．已知直线y＝kx是曲线y＝lnx的切线，则k的值为__________．[设切点为(x0，y0)，∵y′＝(lnx)′＝，∴＝k，即x0＝，y0＝kx0＝1，∴1＝ln，k＝.]25．若曲线f(x)＝x－2在点(a，a－2)(a>0)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，求loga的值.【导学号：97792138】[解]由题意，得f′(x)＝－2x－3，所以曲线f(x)在点(a，a－2)处的切线方程为y－a－2＝－2a－3(x－a)，令x＝0，得y＝3a－2，令y＝0，得x＝.所以×3a－2×a＝3，解得a＝.3
