专练43高考大题专练(四)立体几何的综合运用1．[2019·全国卷Ⅱ]如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．2．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.3.如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．4．[2020·全国卷Ⅱ]如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；(2)设O为△A1B1C1的中心．若AO＝AB＝6，AO∥平面EB1C1F，且∠MPN＝，求四棱锥B-EB1C1F的体积．5．[2020·全国卷Ⅰ]如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；(2)设DO＝，圆锥的侧面积为π，求三棱锥PABC的体积．专练43高考大题专练(四)立体几何的综合运用1.解析：本题考查了长方体的性质、直线与平面垂直的判定与性质和锥体的体积，考查了空间想象能力，主要体现了逻辑推理和直观想象的核心素养．(1)证明：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.所以，四棱锥E－BB1C1C的体积V＝×3×6×3＝18.2．证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，所以PD⊥平面PAB.又PD⊂面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝BC.因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.3．解析：(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.连接OB.因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC知，PO⊥平面ABC.(2)作CH⊥OM，垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°，所以OM＝，CH＝＝.所以点C到平面POM的距离为.4．解析：(1)因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN.因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面A1AMN.所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.(2)AO∥平面EB1C1F，AO⊂平面A1AMN，平面A1AMN∩平面EB1C1F＝PN，故AO∥PN.又AP∥ON，故四边形APNO是平行四边形，所以PN＝AO＝6，AP＝ON＝AM＝，PM＝AM＝2，EF＝BC＝2.因为BC∥平面EB1C1F，所以四棱锥BEB1C1F的顶点B到底面EB1C1F的距离等于点M到底面EB1C1F的距离．作MT⊥PN，垂足为T，则由(1)知，MT⊥平面EB1C1F，故MT＝PMsin∠MPN＝3.底面EB1C1F的面积为×(B1C1＋EF)·PN＝×(6＋2)×6＝24.所以四棱锥BEB1C1F的体积为×24×3＝24.5．解析：(1)由题设可知，PA＝PB＝PC.由于△ABC是正三角形，故可得△PAC≌△PAB，△PAC≌△PBC.又∠APC＝90°，故∠APB＝90°，∠BPC＝90°.从而PB⊥PA，PB⊥PC，故PB⊥平面PAC，所以平面PAB⊥平面PAC.(2)设圆锥的底面半径为r，母线长为l.由题设可得rl＝，l2－r2＝2.解得r＝1，l＝.从而AB＝.由(1)可得PA2＋PB2＝AB2，故PA＝PB＝PC＝.所以三棱锥PABC的体积为××PA×PB×PC＝××3＝.
