2018高考数学异构异模复习考案第五章平面向量5.2.1平面向量的数量积撬题文1．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD＝()A．－a2B．－a2C.a2D.a2答案D解析在菱形ABCD中，BA＝CD，BD＝BA＋BC，所以BD·CD＝(BA＋BC)·CD＝BA·CD＋BC·CD＝a2＋a×a×cos60°＝a2＋a2＝a2.2．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论正确的是()A．|b|＝1B．a⊥bC．a·b＝1D．(4a＋b)⊥BC答案D解析∵AB＝2a，AC＝2a＋b，∴a＝AB，b＝AC－AB＝BC，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴|b|＝2，a·b＝AB·BC＝－1，故a，b不垂直，4a＋b＝2AB＋BC＝AB＋AC，故(4a＋b)·BC＝(AB＋AC)·BC＝－2＋2＝0，∴(4a＋b)⊥BC，故选D.3.设四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4.若点M，N满足BM＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM＝()A．20B．15C．9D．6答案C解析选择AB，AD为基向量．∵BM＝3MC，∴AM＝AB＋BM＝AB＋BC＝AB＋AD，又DN＝2NC，∴NM＝NC＋CM＝AB－AD，于是AM·NM＝·＝(4AB＋3AD)·(4AB－3AD)＝(16|AB|2－9|AD|2)＝9，故选C.4.若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A.B.C.D．π答案A解析由条件，得(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－2b2－a·b＝0，即a·b＝3a2－2b2.又|a|＝|b|，所以a·b＝32－2b2＝b2，所以cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝，故选A.5．若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝()A．2B.C．1D.答案B解析∵(a＋b)⊥a，|a|＝1，∴(a＋b)·a＝0，∴|a|2＋a·b＝0，∴a·b＝－1.又∵(2a＋b)⊥b，∴(2a＋b)·b＝0.∴2a·b＋|b|2＝0.∴|b|2＝2.∴|b|＝，选B.6．平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝()A．－2B．－1C．1D．2答案D解析∵a＝(1,2)，b＝(4,2)，∴c＝m(1,2)＋(4,2)＝(m＋4,2m＋2)．又∵c与a的夹角等于c与b的夹角，∴cos〈c，a〉＝cos〈c，b〉．∴＝.即＝，解得m＝2.17．已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB与AC的夹角为________．答案90°解析由AO＝(AB＋AC)可得O为BC的中点，则BC为圆O的直径，即∠BAC＝90°，故AB与AC的夹角为90°.8．已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.答案解析|b|＝＝，由λa＋b＝0，得b＝－λa，故|b|＝|－λa|＝|λ||a|，所以|λ|＝＝＝.9．已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.答案解析a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9＋2－9×1×1×＝8.∵|a|2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－12×1×1×＝9，∴|a|＝3.∵|b|2＝(3e1－e2)2＝9＋1－6×1×1×＝8，∴|b|＝2，∴cosβ＝＝＝.10.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是________．答案22解析由题意知，AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝BC＋CP＝BC＋CD＝AD－AB，所以AP·BP＝·＝AD2－AD·AB－AB2，即2＝25－AD·AB－×64，解得AB·AD＝22.2
