高中数学 考点30 平面与平面垂直的性质庖丁解题 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题VIP专享VIP免费

考点30平面与平面垂直的性质面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言⇒a⊥β图形语言作用①面面垂直⇒线面垂直②作面的垂线【例】如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD=2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________．【答案】【解析】取CD的中点G，连接MG，NG．要点阐述要点阐述典型例题典型例题因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG=2，NG=．因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG，所以MN==．1．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【答案】D【解析】由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错误．2．已知直线和平面满足，，，则（）A．B．或C．D．或【答案】D3．已知直线m，n，平面α，β，且m⊥α，n⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥n；小试牛刀小试牛刀②若α⊥β，则m∥n；③若m⊥n，则α∥β；④若m∥n，则α⊥β．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】B4．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则（）A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直【答案】C【解析】当b=α∩β时，必有a⊥β，当b不是α与β的交线时，直线a不一定垂直于平面β．5．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．【答案】②③④①⇒(或①③④②⇒【解析】由α⊥β，n⊥β，m⊥α，可以推出m⊥n；由m⊥n，n⊥β，m⊥α，可以推出α⊥β．6．如图，三棱锥PABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC．求证：平面PAB⊥平面PBC．【解析】∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC．又BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC．又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB．又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC．1．已知两个平面垂直，则下列命题中正确命题的个数是()①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则该垂线必垂直于另一个平面．A．3B．2C．1D．0【答案】B2．若m，n，l是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩β＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC．若α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β考题速递考题速递D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ【答案】C【解析】对于A，m与α可以平行，也可以斜交；对于B，α与β也可以相交；C显然正确；对于D，β与γ也可以平行．故选C．3．已知平面和直线，则下列命题正确的是（）A．，，则B．，，则C．，，，则D．，，，则【答案】B【解析】如图所示．4．如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在的平面垂直于底面．（1）求证：；（2）若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）为的中点，证明见解析【解析】（1）设为的中点，连接，∵为正三角形，∴．在菱形中，，为的中点，∴．又，∴平面．∵平面，∴．数学文化数学文化砌墙时,用系有铅锤的线来检查墙是否和地面垂直，依据的是面面垂直的判定定理．