第7讲抛物线1．抛物线y＝ax2(a<0)的准线方程是()A．y＝－B.y＝－C．y＝D．y＝解析：选B.抛物线y＝ax2(a<0)可化为x2＝y，准线方程为y＝－.故选B.2．直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是()A．y2＝12xB.y2＝8xC．y2＝6xD．y2＝4x解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线定义，x1＋x2＋p＝8，因为AB的中点到y轴的距离是2，所以＝2，所以p＝4；所以抛物线方程为y2＝8x.故选B.3．(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则FM·FN＝()A．5B．6C．7D．8解析：选D.法一：过点(－2，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以FM＝(0，2)，FN＝(3，4)，所以FM·FN＝8.故选D.法二：过点(－2，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1>0，y2>0，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1，0)，所以FM＝(x1－1，y1)，FN＝(x2－1，y2)，所以FM·FN＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(xx＋x2)＋1＋4＝4－5＋1＋8＝8.故选D.4．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝()A．4B.8C．8D．16解析：选B.如图，由kAF＝－知∠AFM＝60°.又AP∥MF，所以∠PAF＝60°.又|PA|＝|PF|，所以△APF为等边三角形．故|PF|＝|AF|＝2|MF|＝2p＝8.5．已知点A(2，1)，抛物线y2＝4x的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得|PA|＋|PF|最小，则P点的坐标为()A．(2，1)B.(1，1)C.D．解析：选D.如图，设抛物线准线为l，作AA′⊥l于A′，PP′⊥l于P′，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PP′|≥|AA′|，即当P点为AA′与抛物线交点时，|PA|＋|PF|最小，此时P.故选D.6．若抛物线y2＝2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为________．解析：设抛物线的顶点为O，焦点为F，P(xP，yP)，由抛物线的定义知，点P到准线的距离即为点P到焦点的距离，所以|PO|＝|PF|，过点P作PM⊥OF于点M(图略)，则M为OF的中点，所以xP＝，代入y2＝2x，得yP＝±，所以P.答案：7．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．解析：在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，＝p，所以B.又因为点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6.答案：68．过点P(－2，0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且|PA|＝|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为D，E(图略)，因为|PA|＝|AB|，所以又得x1＝，则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋＝.答案：9．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，于是4＋＝5，所以p＝2.所以抛物线方程为y2＝4x.(2)因为点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)．又因为F(1，0)，所以kFA＝，因为MN⊥FA，所以kMN＝－.所以FA的方程为y＝(x－1)，①MN的方程为y－2＝－x，②联立①②，解得x＝，y＝，所以N的坐标为.10．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1
