高考数学大一轮复习 7.4不等式的综合应用试题 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第4讲不等式的综合应用一、填空题1．现要挖一个面积为432m2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3m,4m的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为________，宽为________．解析设鱼池的长、宽分别为x，，所以S＝(x＋6)·＝432＋48＋＋8x≥480＋288＝768，仅当8x＝，即x＝18，＝24时等号成立．答案24m18m2．若x，y是正数，则2＋2的最小值是________．解析由2＋2≥x2＋＋y2＋＋2≥2＋2＋2＝4.当且仅当x＝y＝时取等号．答案43．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，若f(x)恒为正值，则k的取值范围是________．解析 f(x)＞0，即32x－(k＋1)·3x＋2＞0，∴k＋1＜＝3x＋. x∈R，∴3x＞0，∴＝3x＋≥2，当且仅当3x＝时取等号．从而k＜－1＋2.答案(－∞，－1＋2)4．已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为________．解析由a7＝a6＋2a5，得a5q2＝a5q＋2a5，又a5≠0，q＞0，所以q2＝q＋2，解为q＝2.于是由＝4a1，得m＋n＝6，所以＋＝(m＋n)＝≥(5＋4)＝，当且仅当n＝2m，即m＝2，n＝4时等号成立，故min＝.答案5．若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则＋≥，当且仅当＝时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f(x)＝＋的最小值为________，取最小值时x的值为________．解析由题意得f(x)＝＋≥＝25，当且仅当＝，得x＝∈，故f(x)的最小值为25，此时x＝.答案256．已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．解析令f(x)＝≥3(x∈N*)，则(3－a)x≤x2＋8，即3－a≤x＋. x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号，但由于x∈N*，∴当x＝3时，x＋取最小值3＋，于是3－a≤3＋，即a≥－.答案7．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为________．解析由ax＝by＝3得：x＝loga3，y＝logb3，由a＞1，b＞1知x＞0，y＞0，＋＝log3a＋log3b＝log3ab≤log32＝1，当且仅当a＝b＝时“＝”号成立，则＋的最大值为1.答案18．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为________．解析由题可得a＞0，c＞0，且Δ＝22－4ac＝0即ac＝1.所以a＋c≥2＝2，当且仅当a＝c＝1时取等号．所以＋＝ac×＝a2＋c2＋a＋c＝(a＋c)2＋(a＋c)－2，当且仅当a＝c＝1时，min＝22＋2－2＝4.答案49．“a＝”是“对任意的正数x,2x＋≥1”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)解析当a＝时，2x＋＝2x＋≥1，当且仅当x＝时取“＝”，故充分性成立，当2x＋≥1对x∈R＋恒成立时，a≥(x－2x2)max得a≥，故必要性不成立．答案充分不必要10．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站________km处．解析依题意，设y1＝，y2＝k2×d，则有2＝，8＝k2×10，即有k1＝20，k2＝，从而这两项费用之和为y＝y1＋y2＝＋d≥2＝8万元，当且仅当即d＝5km时，有这两项费用之和最小．答案5二、解答题11．已知f(x)是定义在(－∞，4]上的减函数，是否存在实数m，使得f(m－sinx)≤f对定义域内的一切实数x均成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．思维启迪不等式和函数的结合，往往要利用函数的单调性和函数的值域．解假设实数m存在，依题意，可得即因为sinx的最小值为－1，且－(sinx－)2的最大值为0，要满足题意，必须有解得m＝－或≤m≤3.所以实数m的取值范围是∪.探究提高不等式恒成立问题一般要利用函数的值域，m≤f(x)恒成立，只需m≤f(x)min.12．某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元．为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工．据估计，如果能动员x(x>0)户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x%，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为3(a>0)万元．(1)在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的年总收入，试求x的取值范围；(2)在(1...