第6讲正弦定理和余弦定理[基础题组练]1．(2020·湖北武汉调研测试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝b，A－B＝，则角C＝()A.B．C.D．解析：选B.因为在△ABC中，A－B＝，所以A＝B＋，所以sinA＝sin＝cosB，因为a＝b，所以由正弦定理得sinA＝sinB，所以cosB＝sinB，所以tanB＝，因为B∈(0，π)，所以B＝，所以C＝π－－＝，故选B.2．(2020·江西上饶一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若2S＝(a＋b)2－c2，则tanC的值是()A.B．C．－D．－解析：选C.因为S＝absinC，c2＝a2＋b2－2abcosC，所以由2S＝(a＋b)2－c2，可得absinC＝(a＋b)2－(a2＋b2－2ab·cosC)，整理得sinC－2cosC＝2，所以(sinC－2cosC)2＝4，所以＝4，＝4，化简得3tan2C＋4tanC＝0，因为C∈(0，π)，所以tanC＝－，故选C.3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B.因为bcosC＋ccosB＝asinA，所以由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，所以sin(B＋C)＝sin2A.又sin(B＋C)＝sinA且sinA≠0，所以sinA＝1，所以A＝，所以△ABC为直角三角形，故选B.4．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝()A.B．C.D．2解析：选C.因为A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°，所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，得c＝2，所以由正弦定理得S△ABC＝acsinB＝，故选C.5．在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且∠A＝60°，若S△ABC＝且2sinB＝3sinC，则△ABC的周长等于()A．5＋B．12C．10＋D．5＋2解析：选A.在△ABC中，∠A＝60°.因为2sinB＝3sinC，故由正弦定理可得2b＝3c，再由S△ABC＝＝bc·sinA，可得bc＝6，所以b＝3，c＝2.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc·cosA＝7，所以a＝，故△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋，故选A.6．(2020·河北衡水模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且有a＝1，sinAcosC＋(sinC＋b)cosA＝0，则A＝________．解析：由sinAcosC＋(sinC＋b)cosA＝0，得sinAcosC＋sinCcosA＝－bcosA，所以sin(A＋C)＝－bcosA，即sinB＝－bcosA，又＝，所以＝＝－，从而＝－⇒tanA＝－，又因为0
c，则＝________．解析：由acosB－c－＝0及正弦定理可得sinAcosB－sinC－＝0.因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以－－cosAsinB＝0，所以cosA＝－，即A＝.由余弦定理得a2＝bc＝b2＋c2＋bc，即2b2－5bc＋2c2＝0，又b>c，所以＝2.答案：29．(2020·河南郑州一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为S，且满足sinB＝.(1)求sinAsinC；(2)若4cosAcosC＝3，b＝，求△ABC的周长．解：(1)因为△ABC的面积为S＝acsinB，sinB＝，所以4××sinB＝b2，所以ac＝，所以由正弦定理可得sinAsinC＝＝.(2)因为4cosAcosC＝3，sinAsinC＝，所以cosB＝－cos(A＋C)＝sinAsinC－cosAcosC＝－＝－，因为b＝，所以ac＝＝＝＝8，所以由余弦定理可得15＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝－12，解得a＋c＝3，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝3＋.10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a2＋c2－b2＝abcosA＋a2cosB．(1)求角B；(2)若b＝2，tanC＝，求△ABC的面积．解：(1)因为a2＋c2－b2＝abcosA＋a2cosB，所以由余弦定理，得2accosB＝abcosA＋a2cosB，又a≠0，所以2ccosB＝bcosA＋acosB．由正弦定理，得2sinCcosB＝sinBcosA＋sinAcosB...
