课后限时集训19利用导数解决函数的零点问题建议用时：45分钟1．(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x－1)lnx－x－1
证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．[解](1)证明：f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＋lnx－1＝lnx－
因为y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′(1)＝－1＜0，f′(2)＝ln2－＝＞0，故存在唯一x0∈(1,2)，使得f′(x0)＝0
又当x0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点．(2)证明：由(1)知f(x0)0，所以，f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝α
由α>x0>1得＜1＜x0
又f＝ln－－1＝＝0，故是f(x)＝0在(0，x0)的唯一根．综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．2．已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋b
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)的图像与直线y＝ax恰有两个不同的交点，求实数b的值．[解](1)当a＝－1时，f(x)＝x3＋x2－x＋b，则f′(x)＝3x2＋2x－1，由f′(x)＞0，得x＜－1或x＞，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和
(2)函数f(x)的图像与直线y＝ax恰有两个不同的交点，等价于f(x)－ax＝0有两个不等的实根．令g(x)＝f(x)－ax＝x3＋x2＋b，则g′(x)＝3x2＋2x
由g′(x)＞0，得x＜－或x＞0；由g′(x)＜0，得－＜x＜0
所以函数g(x)在和(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减．所以当x＝－时，函数g(x)取得极大值g＝＋b；当x＝0时，函数g(x)取得极小值为g(0)＝b
要满足题意，则需g＝＋b＝0或g(0)＝b
