数学精练（31．在中，分别是角A、B、C的对边(2,),(cos,cos)macbnBC�，且0.mn�（1）求角B的大小；（2）设函数，求函数的最小正周期，最大值及当取得最大值时的值.【解析】（1）由，得由正弦定理，得2分即，，4分在中，，，6分（2），8分所以的最小正周期为10分令，得即当时取最大值112分2有两枚大小相同、质地均匀的正四面体玩具，每个玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，5。同时投掷这两枚玩具一次，记为两个朝下的面上的数字之和.（1）求事件“m不小于6”的概率；（2）“m为奇数”的概率和“m为偶数”的概率是不是相等？证明你作出的结论。【解析】因玩具是均匀的，所以玩具各面朝下的可能性相等，出现的可能情况有（1，1），（1，2），（1，3），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，5）（3，1），（3，2），（3，3），（3，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，5）1共16种4分（1）事件“m不小于6”包含其中（1，5），（2，5），（3，5），（3，3）（5，1），（5，2），（5，3），（5，8）共8个基本事件6分所以P(m≥6)=8分（2）“m为奇数”的概率和“m为偶数”的概率不相等。因为m为奇数的概率为10分M为偶数的概率为。这两个概率值不相等12分3在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是:每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是．（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？【解析】（Ⅰ）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.依条件可知X~B(6，).()X的分布列为：[X0123456P所以=.或因为X~B(6，)，所以.即X的数学期望为4．……………4分（Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，则2答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为………………………………8分（Ⅲ）设教师乙在这场比赛中获奖为事件B，则.即教师乙在这场比赛中获奖的概率为.显然，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．…………………12分4如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC，AB=2BC，AC=AA1=BC.（1）证明：平面AB1C1；（2）若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE//平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由.【解析】证明：（1），为直角三角形且从而BCAC。又AA1平面ABC，BCCC12分从而BC面ACC1A1，BCA1C，B1C1A1C4分，侧面ACC1A1为正方形，又B1C1∩AC1=C1，面AB1C1.6分（2）存在点E，且E为AB的中点8分下面给出证明：取BB1的中点F，连接DF，则DF//B1C1。AB的中点为E，连接EF，则EF//AB1。B1C1与AB1是相交直线，面DEF//面AB1C1。10分而面DEF，DE//面AB1C112分35（本小题共12分）在如图的多面体中，⊥平面，,，，，，，是的中点．(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求证：；(Ⅲ)求二面角的余弦值.【解析】(Ⅰ)证明： ，∴.又 ,是的中点，∴，∴四边形是平行四边形,∴.……………2分 平面，平面，∴平面.…………………4分(Ⅱ)解法1证明： 平面，平面，∴，又，平面，∴平面.………………………5分过作交于，则平面. 平面，∴.………………………6分 ，∴四边形平行四边形，∴，∴，又，∴四边形为正方形，∴，………………………7分又平面，平面,4ADFEBGC∴⊥平面. 平面,∴.………………8分解法2 平面，平面，平面，∴，，又,∴两两垂直.……………………5分以点E为坐标原点，分别为轴建立如图的空间直角坐标系.由已知得，（0，0，2），（2，0，0），（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），（2，2，0）.…………………………6分∴，，………7分∴,∴.…………………………8分(Ⅲ)由已知得是平面的法向量.设平面的法向量为， ，∴，即，令,得.……………10分设二面角的大小为，则，…………………………11分∴二面角的余弦值为…………………………12分6已知正项数列的前项和为5当时，点在直线上，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）...
