课堂10分钟达标1.方底无盖水箱的容积为256,则最省材料时,它的高为()A.4B.6C.4.5D.8【解析】选A.设底面边长为x,高为h,则V(x)=x2·h=256,所以h=,所以S(x)=x2+4xh=x2+4x·=x2+,所以S′(x)=2x-.令S′(x)=0,解得x=8,所以h==4.2.某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)=x2(00;当x>9时,y′<0.所以当x=9时,y取得最大值.4.甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位:年)的函数关系如图所示.()1现有下列四种说法:①前四年该产品产量增长速度越来越快;②前四年该产品产量增长速度越来越慢;③第四年后该产品停止生产;④第四年后该产品年产量保持不变.其中说法正确的有()A.①④B.②④C.①③D.②③【解析】选B.增长速度是产量对时间的导数,即图象中切线的斜率.由图象可知,②④是正确的.5.某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数,y1=17x2;生产总成本y2(万元)也是x的函数,y2=2x3-x2(x>0),为使利润最大,应生产()A.9千台B.8千台C.6千台D.3千台【解析】选C.利润y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=18x2-2x3(x>0),求导得y′=36x-6x2,令y′=0,得x=6或x=0(舍去).6.统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y=x3-x+8(00,h(x)是增函数,所以当x=80时,h(x)取得极小值h(80)=11.25(升).因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值,所以它是最小值.2答:汽车以80千米/时匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.7.【能力挑战题】新晨投资公司拟投资开发某项新产品,市场评估能获得10～1000万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不低于1万元,同时不超过投资收益的20%.(1)设奖励方案的函数模型为f(x),试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型f(x)的基本要求.(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型:①f(x)=+2;②f(x)=4lgx-2.试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.【解析】(1)由题意知,公司对奖励方案的函数模型f(x)的基本要求是:当x∈[10,1000]时,①f(x)是增函数;②f(x)≥1恒成立;③f(x)≤恒成立,(2)①对于函数模型f(x)=+2:当x∈[10,1000]时,f(x)是增函数,则f(x)≥1显然恒成立,而若使函数f(x)=+2≤在[10,1000]上恒成立,整理即29x≥300恒成立,而(29x)min=290,所以f(x)≤不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.②对于函数模型f(x)=4lgx-2:当x∈[10,1000]时,f(x)是增函数,则f(x)min=f(10)=4lg10-2=2>1.所以f(x)≥1恒成立.设g(x)=4lgx-2-,则g′(x)=-.当x≥10时,g′(x)=-≤=<0,所以g(x)在[10,1000]上是减函数,从而g(x)≤g(10)=4lg10-2-2=0.所以4lgx-2-≤0,即4lgx-2≤,所以f(x)≤恒成立.故该函数模型符合公司要求.34
