小题专练·作业(十五)函数与方程、函数的实际应用1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为()A．，0B．－2,0C．D．0解析当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，因为x>1，所以此时方程无解。综上函数f(x)的零点只有0。故选D。答案D2．函数f(x)＝＋ln的零点所在的大致区间是()A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(1,2)与(2,3)解析f(x)＝＋ln＝－ln(x－1)，当10，所以f(x)>0，故函数f(x)在(1,2)上没有零点。f(2)＝1－ln1＝1>0，f(3)＝－ln2＝＝。因为＝2≈2.828>e，所以8>e2，即ln8>2，所以f(3)<0。又f(4)＝－ln3<0，所以f(x)在(2,3)内存在一个零点。故选B。答案B3．若函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点，则实数m的取值范围是()A．(－∞，0]B．[0，＋∞)C．(－∞，0)D．(0，＋∞)解析因为函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点，所以m＋log2x＝0在x≥1时有解，所以m＝－log2x≤－log21＝0。故选A。答案A4．函数f(x)＝的零点不可能在的区间为()A．(1,4)B．(3,7)C．(8,13)D．(11,18)解析当0≤x≤10时，f(x)单调递增，又f(3)＝0，所以当0≤x≤10时，f(x)有唯一零点x＝3。故选B。答案B5．(2018·武汉调研)已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是()A．(0,1)B．(0,1]C．(－∞，1)D．(－∞，1]解析令m＝0，由f(x)＝0得x＝，满足题意，可排除A，B。令m＝1，由f(x)＝0得x＝1，满足题意，排除C。故选D。答案D6．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a。若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1,0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)解析函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C。答案C7．(2018·惠州调研)函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝则函数g(x)＝xf(x)－1在[－6，＋∞)上的所有零点之和为()A．8B．32C．D．0解析令g(x)＝xf(x)－1＝0，则x≠0，所以函数g(x)的零点之和等价于函数y＝f(x)的图象和y＝的图象的交点的横坐标之和，分别作出x>0时，y＝f(x)和y＝的大致图象，如图所示，由于y＝f(x)和y＝的图象都关于原点对称，因此函数g(x)在[－6,6]上的所有零点之和为0，而当x＝8时，f(x)＝，即两函数的图象刚好有1个交点，且当x∈(8，＋∞)时，y＝的图象都在y＝f(x)的图象的上方，因此g(x)在[－6，＋∞)上的所有零点之和为8。故选A。答案A8．某学校为了提高学生综合素质、树立社会主义荣辱观、发展创新能力和实践能力、促进学生健康成长，开展评选“校园之星”活动。规定各班每10人推选一名候选人，当各班人数除以10的余数大于7时再增选一名候选人，那么，各班可推选的候选人人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为()A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝解析由题意，根据规定，每10人推选一名候选人，当各班人数除以10的余数大于7时再增选一名候选人，即余数分别为8,9时可以增选一名候选人，因此用取整函数可以表示为y＝。故选B。答案B9．设函数f(x)＝则方程f(x)＝1的解集为________。解析由f(x)＝1，知当x≤0时，2x＝1，则x＝0；当x>0时，则|log2x|＝1，解得x＝或2，所以所求解集为。答案10．已知函数f(x)＝－2x，则f________f(1)(填“>”或“<”)；f(x)在上存在零点，则正整数n＝________。解析当x>0时，函数y＝与y＝－2x均为减函数，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f>f(1)；因为f＝2－>0，f＝－2<0，所以函数f(x)的零点在上，所以正整数n＝2。答案>211．(2018·广西玉林模拟)已知f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－ex的零点的个数为________。解析函数g(x)＝f(x)－ex的零点的个数可转化为函数y＝f(x)与y＝ex的图象的交点个数。在同一坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝ex的图象如图所示，可知图象有2个交点，即函数g(x)＝f(x)－ex有2个零点。答案212．若函数y＝在区间(－2,2)上有两个零点，则实数a的取值范围为________。解析由题设可知函数y＝x2－a与...
