高中数学1.4数学归纳法同步精练北师大版选修2-21.设f(n)＝＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于()．A．B．C．D．2．满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数有()．A．1B．1或2C．1,2,3D．1,2,3,43．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除”的过程中，利用归纳假设证明n＝k＋1时，只需展开()．A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)34．证明＜1＋＋…＋＜n＋1(n＞1)，当n＝2时，中间式等于()．A．1B．1＋C．1＋D．1＋5．凸n边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为()．A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－26．若命题A(n)(n∈N＋)，当n＝k(k∈N＋)时，命题成立，则有n＝k＋1时，命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N＋)时，命题成立，则有()．A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都错7．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为__________．8．用数学归纳法证明“当n为正偶数时，xn－yn能被x＋y整除”，第一步应验证n＝__________时，命题成立；第二步归纳假设成立，应写成______________．9．用数学归纳法证明凸n边形的对角线的条数：f(n)＝n(n－3)(n≥3且n∈N＋)．10．已知n≥2，n∈N＋，求证：·…·.1参考答案1.答案：D解析：f(n)＝f(n＋1)＝，∴f(n＋1)－f(n)＝.2.答案：B解析：当n＝1时，左边＝1×2＝2，右边＝3－3＋2＝2，等式成立．当n＝2时，左边＝1×2＋2×3＝8，右边＝3×22－3×2＋2＝8，等式成立．当n＝3时，左边＝1×2＋2×3＋3×4＝20，右边＝3×32－3×3＋2＝20，等式成立．当n＝4时，左边＝1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝40，右边＝3×42－3×4＋2＝38，等式不成立．3.答案：A解析：当n＝k时，k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3－k3，只需展开(k＋3)3即可．4.答案：D解析：当n＝2时，分母从1依次到4，则中间式为1＋.5.答案：B解析：增加的对角线条数为n－1.6.答案：B解析：只能对大于或等于n0的所有正整数成立，而小于n0的正整数不确定．7.答案：k3＋5k＋3k(k＋1)＋6解析：采用配凑法，必须利用归纳假设．8.答案：2x2k－y2k能被x＋y整除解析：因为n为正偶数，故第一个值应为n＝2，第二步假设n取第k个正偶数，即n＝2k时成立，故应假设x2k－y2k能被x＋y整除．9.答案：证明：(1)∵三角形没有对角线，∴n＝3时，f(3)＝0，命题成立．(2)假设n＝k(k≥3且k∈N＋)时命题成立，即f(k)＝k(k－3)．则当n＝k＋1时，凸k边形由原来k个顶点变为k＋1个顶点，对角线条数增加k－1.∴f(k＋1)＝f(k)＋k－1＝k(k－3)＋k－1＝(k＋1)[(k＋1)－3]．∴当n＝k＋1时，命题成立．∴对于任意的n∈N＋且n≥3，凸n边形对角线的条数为f(n)＝n(n－3)．210.证明：(1)当n＝2时，左边＝1＋，右边＝，原不等式成立．(2)假设n＝k时，原不等式成立．即.那么当n＝k＋1时，要使n＝k＋1时，原不等式成立，只需证明，即，只需证2k＋1＋＋2＞2k＋3，即＞0.∵k≥2，∴＞0.显然成立，即当n＝k＋1时，原不等式成立．由(1)(2)可知，对任何n∈N＋(n≥2)，原不等式均成立．3
