四直角三角形的射影定理1.在Rt△MNP中,MN⊥MP,MQ⊥PN于点Q,如图所示,NQ=3,则MN等于()A.3PNB.13PNC.√3PND.9PN解析∵MN⊥MP,MQ⊥PN,∴MN2=NQ·PN.又NQ=3,∴MN=√NQ·PN=√3PN.答案C2.在Rt△MNP中,MN⊥MP,MQ⊥PN于点Q,MN=3,PN=9,则NQ等于()A.1B.3C.9D.27解析由射影定理得MN2=NQ·NP,∴32=9NQ,∴NQ=1.答案A3.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是斜边AB上的高,AD=5,BD=8,则S△CDA∶S△CDB等于()A.5∶8B.25∶64C.25∶39D.25∶89解析由题意知△CDA∽△BDC,∴S△CDAS△CDB=(ACCB)2=AC2CB2.根据射影定理,得AC2=AD·AB,CB2=BD·AB,∴S△CDAS△CDB=AD·ABBD·AB=ADBD=58.答案A4.导学号19110018在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D.若BC=m,∠B=α,则AD的长为()A.msin2αB.mcos2αC.msinαcosαD.msinαtanα1解析由射影定理,得AB2=BD·BC,AC2=CD·BC,即m2cos2α=BD·m,m2sin2α=CD·m,即BD=mcos2α,CD=msin2α.∵AD2=BD·DC=m2cos2αsin2α,∴AD=msinαcosα.答案C5.(2016·云南昆明高二期中)在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AD∶BD=2∶3,则△ACD与△CBD的相似比为()A.2∶3B.4∶9C.√6∶3D.不确定解析在Rt△ACB中,CD⊥AB,由射影定理得,CD2=AD·BD,即CDAD=BDCD.∵∠ADC=∠BDC=90°,∴△ACD∽△CBD.又AD∶BD=2∶3,令AD=2x,BD=3x(x>0),∴CD2=6x2,∴CD=√6x.∴△ACD与△CBD的相似比为ADCD=2x√6x=√63,即相似比为√6∶3.答案C6.(2016·河北邢台高二检测)在△ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB于点D,若AD=27,BD=3,则AC=,BC=,CD=.解析由射影定理,得CD2=AD·BD,则CD=9.根据勾股定理,得AC=√AD2+CD2=9√10,BC=√BD2+CD2=3√10.答案9√103√1097.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CD=√6,AB=5,则AD=.解析∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴CD2=AD·DB.∵CD=√6,∴AD·DB=6.又AB=5,∴DB=5-AD.∴AD·(5-AD)=6,解得AD=2或3.答案2或38.(2016·江西吉安高二检测)在Rt△ABC中,∠C=90°,a-b=1,tanA=32,其中a,b分别是∠A和∠B的对边,则斜边上的高h=.2解析由tanA=ab=32和a-b=1,得a=3,b=2,故c=√13(c为∠C的对边),∴h=abc=6√1313.答案6√13139.(2016·湖南岳阳高二月考)如图,已知Rt△ABC的周长为48,AD平分∠BAC,且与BC交于点D,BD∶DC=5∶3.(1)求Rt△ABC的三边长;(2)求两直角边AC,BC在斜边AB上的射影的长.解(1)如图,设CD=3x,则BD=5x,BC=8x.过点D作DE⊥AB于点E,易知Rt△ADC≌Rt△ADE,∴DE=3x,BE=4x,∴AE+AC+12x=48.又AE=AC,∴AC=24-6x,AB=24-2x,∴(24-6x)2+(8x)2=(24-2x)2,解得x1=0(舍去),x2=2,∴AB=20,AC=12,BC=16,∴Rt△ABC的三边长分别为20,12,16.(2)过点C作CF⊥AB于点F,则AC2=AF·AB,∴AF=AC2AB=12220=365.同理得BF=BC2AB=16220=645.∴两直角边AC,BC在斜边AB上的射影的长分别为365,645.10.3导学号19110019如图所示,四边形ABCD是正方形,E为AD上一点,且AE=14AD,N是AB的中点,NF⊥CE于点F.求证:FN2=EF·FC.证明如图所示,连接NE,NC.设正方形的边长为a.∵AE=14a,AN=12a,∴NE=√a216+a24=√5a4.∵BN=12a,BC=a,∴NC=√a24+a2=√5a2.∵DE=34a,DC=a,∴EC=√9a216+a2=5a4.∴NE2=5a216,NC2=5a24,EC2=25a216.∴NE2+NC2=25a216.∴NE2+NC2=EC2.∴EN⊥NC,△ENC是直角三角形.又NF⊥EC,∴NF2=EF·FC.45
