4.1.2函数的极值(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图415所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极值点有()图415A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】y＝f′(x)的变号零点为极值点，不变号零点不是极值点，∴f(x)在开区间(a，b)内有3个极值点．【答案】C2．函数f(x)＝1＋3x－x3()A．有极小值，无极大值B．无极小值，有极大值C．无极小值，无极大值D．有极小值，有极大值【解析】 f′(x)＝－3x2＋3，由f′(x)＝0得x＝±1.当x∈(－1,1)时f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间为(－1,1)；同理，f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．∴当x＝－1时，函数有极小值－1，当x＝1时，函数有极大值3.【答案】D3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1没有极值，则实数a的取值范围是()A．(－3,6)B．[－3,6]C．(－∞，－3)∪(6，＋∞)D．(－∞，－3]∪[6，＋∞)【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，由题意可知f′(x)＝0没有实根或有两个相等实根，故Δ＝4a2－12(a＋6)≤0，解得－3≤a≤6，故选B.【答案】B4．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图像如图416所示，且f(x)在x＝x0与x＝2处取得极值，则f(1)＋f(－1)的值一定()图416A．等于0B．大于0C．小于0D．小于或等于0【解析】f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知，x＝x0与x＝2是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，由图像知，a＞0且x0＋2＜0，∴－＜0，∴b＞0.又f(1)＋f(－1)＝2b，∴f(1)＋f(－1)＞0.1【答案】B5．三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，则此函数的解析式是()A．y＝x3＋6x2＋9xB．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9xD．y＝x3＋6x2－9x【解析】设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意得f′(1)＝f′(3)＝0，f(1)＝4，f(3)＝0，即解得：a＝1，b＝－6，c＝9，d＝0.【答案】B二、填空题6．(2016·湛江高二检测)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．【解析】f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2；由f′(x)＞0，得x＜0或x＞2；由f′(x)＜0，得0＜x＜2，∴f(x)在x＝2处取得极小值．【答案】27．函数f(x)＝2x3－3x2＋a的极大值为6，那么a＝________.【解析】由f′(x)＝6x2－6x，知函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)，故f(x)在x＝0处取得极大值6，故a＝6.【答案】68．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．【解析】由题意知f′(x)＝－x＋4－＝＝－，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<10，可得x>1或x<；令f′(x)<0，可得1时，f′(x)>0，当－3
