（浙江专用）新高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 8 第8讲 正弦定理和余弦定理的应用举例高效演练分层突破-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例[基础题组练]1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°解析：选D.由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.2.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在它的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，AB的距离是84m，则塔高CD为()A．24mB．12mC．12mD．36m解析：选C.设塔高CD＝xm，则AD＝xm，DB＝xm．在△ABD中，利用余弦定理，得842＝x2＋(x)2－2x2cos150°，解得x＝±12(负值舍去)，故塔高为12m.3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为()A.海里/小时B．34海里/小时C.海里/小时D．34海里/小时解析：选C.如图所示，在△PMN中，PM＝68，∠PNM＝45°，∠PMN＝15°，∠MPN＝120°，由正弦定理，得＝，所以MN＝34，所以该船的航行速度为海里/小时．4.如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m、50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：选B.依题意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.5．(2020·杭州调研)据气象部门预报，在距离某码头正西方向400km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向东北方向移动，距风暴中心300km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为()A．9hB．10hC．11hD．12h解析：选B.记码头为点O，热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴到达B点位置，1在△OAB中，OA＝400，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得4002＋400t2－2×20t×400×≤3002，即t2－20t＋175≤0，解得10－5≤t≤10＋5，所以所求时间为10＋5－10＋5＝10(h)，故选B.6．(2020·绍兴一中高三期中)以BC为底边的等腰三角形ABC中，AC边上的中线长为6，当△ABC面积最大时，腰AB长为()A．6B．6C．4D．4解析：选D.如图所示，设D为AC的中点，由余弦定理得cosA＝＝，在△ABD中，BD2＝b2＋－2×b××，可得2a2＋b2＝144，设BC边上的高为h，所以S＝ah＝a＝a＝＝，所以，当a2＝32时，S有最大值，此时，b2＝144－2a2＝80，解得b＝4，即腰长AB＝4.故选D.7．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为________km.解析：由余弦定理得82＋52－2×8×5×cos(π－∠D)＝AC2＝32＋52－2×3×5×cos∠D，解得cos∠D＝－，所以AC＝＝7.答案：78．(2020·嘉兴高三模拟)如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处，且cosθ＝.已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为________海里/小时．解析：因为cosθ＝，0°<θ<45°，所以sinθ＝，cos(45°－θ)＝×＋×＝，在△ABC中，BC2＝800＋100－2×20×10×＝340，所以BC＝2，所以该货船的船速为4海里/小时．答案：49．在距离塔底分别为80m，160m，240m的同一水平面上的A，B，C处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________．解析：设塔高为hm．依题意得，tanα＝，tanβ＝，tanγ＝.因为α＋β＋γ＝90°，所以tan(α＋β)tanγ＝tan(90°－γ)tanγ＝＝＝1，所以·tanγ＝1，所以·＝1，解得h＝80，所以塔高为80m.2答案：80m10．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.解析：根据题图，AC＝100m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得＝⇒AM＝100m.在△AMN中，＝sin60...