等比数列的前n项和(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于()A.1B.0C.1或0D.－1【解析】因为Sn－Sn－1＝an，又{Sn}是等差数列，所以an为定值，即数列{an}为常数列，所以q＝＝1.【答案】A2.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝()A.vB.－C.D.－【解析】设公比为q， S3＝a2＋10a1，a5＝9，∴∴解得a1＝，故选C.【答案】C3.一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是()【导学号：18082099】A.190B.191C.192D.193【解析】设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7，由＝381，解得a1＝192.【答案】C4.设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为Sn，则Sn的值为()A.2nB.2n－nC.2n＋1－nD.2n＋1－n－2【解析】法一：特殊值法，由原数列知S1＝1，S2＝4，在选项中，满足S1＝1，S2＝4的只有答案D.法二：看通项，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1.∴Sn＝－n＝2n＋1－n－2.【答案】D5.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝()A.35B.33C.31D.29【解析】设数列{an}的公比为q， a2·a3＝a·q3＝a1·a4＝2a1，∴a4＝2.又 a4＋2a7＝a4＋2a4q3＝2＋4q3＝2×，∴q＝.∴a1＝＝16，S5＝＝31.【答案】C二、填空题16.已知等比数列{an}的前n项和Sn＝x·2n－1，则x＝________.【导学号：18082100】【解析】法一：由Sn＝x·2n－1得a1＝S1＝2x－1，a2＝S2－S1＝2x，a3＝S3－S2＝4x.因为a1，a2，a3成等比，所以a＝a1·a3，即(2x)2＝(2x－1)·4x，解得x＝0或1.又a2＝2x≠0，∴x＝1.法二：当n＝1时，a1＝S1＝2x－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(x·2n－1)－(x·2n－1－1)＝x·2n－1.因为{an}是等比数列，所以n＝1时也适合an＝x·2n－1，所以x·20＝2x－1，∴x＝1.【答案】17.设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.【解析】法一：a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15.法二：因为a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|，数列{|an|}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为＝15.【答案】158.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn＝126，则n＝________.【解析】 a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，又 Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.【答案】6三、解答题9.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列.(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.【导学号：18082101】【解】(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，从而q＝－.(2)由已知可得a1－a1＝3，故a1＝4.从而Sn＝＝.10.已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N＋).(1)求an与bn；(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.【解】(1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N＋).由题意知：当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.当n≥2时，b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＝bn－1，和原递推式作差得，bn＝bn＋1－bn.整理得＝，所以bn＝n(n∈N＋).(2)由(1)知anbn＝n·2n，因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1.故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N＋).[能力提升]21.在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝2n－1(n∈N＋)，则a＋a＋…＋a等于()A.(2n－1)2B.(2n－1)2C.4n－1D.(4n－1)【解析】a1＋a2＋…＋an＝2n－1，即Sn＝2n－1，则Sn－1＝2n－1－1(n≥2)，则an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，所以an＝2n－1，a＝4n－1，所以数列{a}是以1为首项，4为公比的等比数列，所以a＋a＋…＋a＝＝(4n－1).【答案】D2.如图231，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，则前n个内切圆的面积和为()【导学号：18082102】图231A.B.πC.2πD.3π【解析】根据条件，第一个内切圆的半径为×3＝，面积为π，第...
