高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理和余弦定理练习 理 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第6讲正弦定理和余弦定理一、选择题1.(2017·合肥模拟)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为，则C＝()A.30°B.45°C.60°D.75°解析法一 S△ABC＝·AB·AC·sinA＝，即××1×sinA＝，∴sinA＝1，由A∈(0°，180°)，∴A＝90°，∴C＝60°.故选C.法二由正弦定理，得＝，即＝，sinC＝，又C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°.当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝≠(舍去).而当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝，符合条件，故C＝60°.故选C.答案C2.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝，a＝2，b＝，则B等于()A.B.C.或D.解析 A＝，a＝2，b＝，∴由正弦定理＝可得，sinB＝sinA＝×＝. A＝，∴B＝.答案D3.(2017·成都诊断)在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析因为cos2＝，所以2cos2－1＝－1，所以cosB＝，所以＝，所以c2＝a2＋b2.所以△ABC为直角三角形.答案B4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析因为在△ABC中，a＞b⇔sinA＞sinB⇔sin2A＞sin2B⇔2sin2A＞2sin2B⇔1－2sin2A＜1－2sin2B⇔cos2A＜cos2B.所以“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的充分必要条件.答案C5.(2016·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝()A.B.C.D.解析在△ABC中，由b＝c，得cosA＝＝，又a2＝2b2(1－sinA)，所以cosA＝sinA，即tanA＝1，又知A∈(0，π)，所以A＝，故选C.答案C二、填空题6.(2015·重庆卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－，3sinA＝2sinB，则c＝________.解析由3sinA＝2sinB及正弦定理，得3a＝2b，又a＝2，所以b＝3，故c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋9－2×2×3×＝16，所以c＝4.答案47.(2017·江西九校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝________.解析因为角A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°.由正弦定理，得＝，解得sinA＝，因为0°＜A＜180°，所以A＝30°或150°(舍去)，此时C＝90°，所以S△ABC＝ab＝.答案8.(2016·北京卷)在△ABC中，A＝，a＝c，则＝________.解析在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc·cosA，将A＝，a＝c代入，可得(c)2＝b2＋c2－2bc·，整理得2c2＝b2＋bc. c≠0，∴等式两边同时除以c2，得2＝＋，可解得＝1.答案1三、解答题9.(2015·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cosA＝－.(1)求a和sinC的值；(2)求cos的值.解(1)在△ABC中，由cosA＝－，可得sinA＝.由S△ABC＝bcsinA＝3，得bc＝24，又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4.由a2＝b2＋c2－2bccosA，可得a＝8.由＝，得sinC＝.(2)cos＝cos2A·cos－sin2A·sin＝(2cos2A－1)－×2sinA·cosA＝.10.(2015·全国Ⅱ卷)在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.(1)求；(2)若∠BAC＝60°，求∠B.解(1)由正弦定理得＝，＝.因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，所以＝＝.(2)因为∠C＝180°－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60°，所以sinC＝sin(∠BAC＋∠B)＝cosB＋sinB.由(1)知2sinB＝sinC，所以tanB＝，即∠B＝30°.11.(2017·郑州调研)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是()A.B.C.D.解析由已知及正弦定理有a2≤b2＋c2－bc，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccosA，于是b2＋c2－2bccosA≤b2＋c2－bc，∴cosA≥，在△ABC中，A∈(0，π).由余弦函数的性质，得0