第四章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制、任意角的三角函数突破点(一)角的概念基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．2．角的分类角的分类3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”终边相同的角[例1](1)设集合M＝，N＝xx＝·180°＋45°，k∈Z，那么()A．M＝NB．M⊆NC．N⊆MD．M∩N＝∅(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．[解析](1)法一：由于M＝xx＝·180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N.法二：由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，k∈Z,2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k∈Z，k＋1是整数，因此必有M⊆N.(2)所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°，得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－(k∈Z)，从而k＝－2或k＝－1.将k＝－2，k＝－1分别代入β＝45°＋k×360°(k∈Z)，得β＝－675°或β＝－315°.[答案](1)B(2)－675°或－315°[方法技巧]本节主要包括3个知识点：1.角的概念；2.弧度制及其应用；3.任意角的三角函数.终边相同角的集合的应用利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．象限角[例2](1)给出下列四个命题：①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个(2)若角α是第二象限角，则是()A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角[解析](1)－＝－2π＝＋π－2π，从而－是第三象限角，故①错误；＝π＋，从而是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而－400°是第四象限角，故③正确；－315°＝－360°＋45°，从而－315°是第一象限角，故④正确．(2) α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．[答案](1)C(2)C[方法技巧]确定(n≥2，且n∈N*)的终边位置的方法(1)讨论法①用终边相同角的形式表示出角α的范围；②写出的范围；③根据k的可能取值讨论确定的终边所在位置．(2)等分象限角的方法已知角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求是第几象限角．①等分：将每个象限分成n等份；②标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴；③选答：出现数字m的区域，即为的终边所在的象限．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形半径的大小无关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选A由于第一象限角如370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin＝sin，但与的终边不相同，故④错；当cosθ＝－1，θ＝π时，θ既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．2.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：选C当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样．比较各选项，可知选C.3.若α为第一象限角，则β＝k·180°＋α(k∈Z)是第________象限角．解析： α是第一象限角，∴k为偶数时，k·180°＋α的终边在第一象限；k为奇数时，k·180°＋α的终边在第三象限．即β＝k·180°...
