课时分层作业(十八)空间向量与平行关系(建议用时：60分钟)一、选择题1．已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，则l与α的位置关系是()A．l⊥αB．l∥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂αD[因为a·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u，所以l∥α或l⊂α．]2．已知A(0，y,3)，B(－1，－2，z)，若直线l的方向向量v＝(2,1,3)与直线AB的方向向量平行，则y＋z等于()A．－3B．0C．1D．3B[由题意，得AB＝(－1，－2－y，z－3)，则＝＝，解得y＝－，z＝，所以y＋z＝0，故选B．]3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是()A．(1，－1,1)B．C．D．B[对于B，AP＝，则n·AP＝(3,1,2)·＝0，∴n⊥AP，则点P在平面α内．]4．若AB＝λCD＋μCE，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面内D．平行或在平面内D[ AB＝λCD＋μCE，∴AB，CD，CE共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．]5．平面α的法向量u＝(x,1，－2)，平面β的法向量v＝，已知α∥β，则x＋y＝()A．B．C．3D．A[由题意知， α∥β，∴u＝λv，即解得λ＝－4，y＝－，x＝4，∴x＋y＝4－＝．]二、填空题6．如图，在正三棱锥SABC中，点O是△ABC的外心，点D是棱BC的中点，则平面ABC的一个法向量可以是________，平面SAD的一个法向量可以是________．SO，BC[由题意知SO⊥平面ABC，BC⊥平面SAD．因此平面ABC的一个法向量可以是SO，平面SAD的一个法向量可以是BC．]7．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a与b为共线向量，则x＝________，y＝________．－[由题意得＝＝，∴x＝，y＝－．]8．已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是________．－3[ l∥平面ABC，∴存在实数x，y，使a＝xAB＋yAC，AB＝(1,0，－1)，AC＝(0,1，－1)，∴(2，m,1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1)＝(x，y，－x－y)，∴∴m＝－3．]三、解答题9．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD和B1C的中点，利用向量法证明：(1)MN∥平面CC1D1D；(2)平面MNP∥平面CC1D1D．[证明](1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，并设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，D(0,0,0)，M(1,0,1)，N(1,1,0)，P(1,2,1)．由正方体的性质知AD⊥平面CC1D1D，所以DA＝(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量．由于MN＝(0,1，－1)，则MN·DA＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以MN⊥DA．又MN⊄平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D．(2)由于MP＝(0,2,0)，DC＝(0,2,0)，所以MP∥DC，即MP∥DC．由于MP⊄平面CC1D1D，所以MP∥平面CC1D1D．又由(1)，知MN∥平面CC1D1D，MN∩MP＝M，所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP∥平面CC1D1D．10．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F．[证明](1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以FC1＝(0,2,1)，DA＝(2,0,0)，AE＝(0,2,1)．设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥DA，n1⊥AE，即得令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．因为FC1·n1＝－2＋2＝0，所以FC1⊥n1．又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE．(2)C1B1＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．由n2⊥FC1，n2⊥C1B1，得解得令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)．因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F．1．若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1,2,1)，c＝与平面α都平行，则向量a等于()A．B．C．D．D[由题意，知a·b＝0，a·c＝0，即，解得，所以a＝．]2．如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1．四个结论中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4C[ A1M＝A1A＋AM＝A1A＋AB，D1P＝D1D＋DP＝A1A＋AB，∴A1M∥D1P，从而A1M∥D1P．可得①③④正确．又B1Q与D1P不平行，故②不正确．]3．...
