3.1.1数系的扩充和复数的相关概念A级基础巩固一、选择题1．在2＋，i，0，8＋5i，(1－)i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：i，(1－)i是纯虚数，2＋，0，0.618是实数，8＋5i是虚数．答案：C2．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是()A．|a|＝|b|B．a＜0且a＝－bC．a＞0且a≠bD．a≤0解析：因为z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)是实数，所以a＋|a|＝0，因此a≤0.答案：D3．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝()A．－2＋iB．2＋iC．1－2iD．1＋2i解析：由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，所以由复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.答案：B4．下列命题：①若z＝a＋bi，则仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数；②若z＋z＝0，则z1＝z2＝0；③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：在①中未对z＝a＋bi中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z＋z＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．答案：A5．已知集合M＝{1，2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1，3}，且M∩N＝{3}，则实数m的值为()A．4B．－1C．－1或4D．－1或6解析：由于M∩N＝{3}，故3∈M，必有m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3，可得m＝－1.答案：B二、填空题16．已知复数z＝m2(1－i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________．解析：z＝m2＋m2i－m2－mi＝(m2－m)i，所以m2－m＝0，所以m＝0或m＝1.答案：0或17．已知＝(x2－2x－3)i(x∈R)，则x＝________．解析：因为x∈R，所以∈R，由复数相等的条件得：解得x＝3.答案：38．若复数m－3＋(m2－9)i≥0，则实数m的值为________．解析：依题意知解得即m＝3.答案：3三、解答题9．已知关于实数x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值．解：对①，根据2x－1＋i＝y－(3－y)i(x，y∈R)，得解得③把③代入②，得5＋4a－(6＋b)i＝9－8i，且a，b∈R，所以解得10．已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数．解：(1)复数z＝＋(m2＋2m－3)i是实数，则解得m＝－3，所以当m＝－3时，z∈R.(2)若复数z是虚数则有解得m≠－3且m≠1，所以当m≠－3且m≠1时，z是虚数．(3)当z是纯虚数时，则有解得m＝0或m＝－2，所以当m＝0或m＝－2时，z是纯虚数．B级能力提升1．已知复数z1＝a＋bi(a，b∈R)的实部为2，虚部为1，复数z2＝(x－1)＋(2x－y)i(x，y∈R)．当z1＝z2时x，y的值分别为()A．x＝3且y＝5B．x＝3且y＝0C．x＝2且y＝0D．x＝2且y＝5解析：易知z1＝2＋i由z1＝z2，即2＋i＝(x－1)＋(2x－y)i(x，y∈R)∴解得x＝3且y＝5.答案：A2．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)＞1，则实数x的取值范围是________．2解析：由log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)＞1，且x∈R，所以由①得x＝0或x＝－2，当x＝0时，代入②式不成立，舍去．当x＝－2时，代入②式，有log2(4＋6－2)＝3＞1成立，因此x＝－2.答案：{x|x＝－2}3．已知复数z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i，λ，m∈R，θ∈，z1＝z2，求λ的取值范围．解：由z1＝z2，λ，m∈R，可得整理，得λ＝4sin2θ－3sinθ＝4－.因为θ∈，所以sinθ∈[0，1]．则当sinθ＝时，λ取最小值－.当sinθ＝1时，λ取最大值1.因此，实数λ的取值范围是.3
