§6距离的计算课后训练案巩固提升A组1.已知向量n=(1,0,-1)与直线l垂直,且l经过点A(2,3,1),则点P(4,3,2)到l的距离为()A.B.C.D.解析: n=(1,0,-1)与直线l垂直,∴n的单位向量n0=.又 l经过点A(2,3,1),∴=(2,0,1),∴在n上的投影·n0=(2,0,1)·.∴点P到l的距离为.答案:B2.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到α的距离为()A.10B.3C.D.解析: α的一个法向量为n=(-2,-2,1),∴n0=.又点A(-1,3,0)在α内,∴=(-1,-2,4),∴点P到平面α的距离为|·n0|=.答案:D3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则点A1到对角线BC1所在的直线的距离为()A.aB.aC.aD.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,1则A1(a,0,a),B(a,a,0),C1(0,a,a).∴=(0,a,-a),=(-a,0,a).∴||=a,||=a.∴点A1到BC1的距离d=a.答案:A4.导学号90074046如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN与平面ACD1间的距离是()A.B.C.D.解析:如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),D1(0,0,1),M,N,C(0,1,0).所以=(-1,0,1),.所以.又直线AD1与MN不重合,所以MN∥AD1.又MN⊈平面ACD1,2所以MN∥平面ACD1.因为=(-1,0,1),=(0,1,-1),设平面ACD1的法向量n=(x,y,z),则所以所以x=y=z.令x=1,则n=(1,1,1).又因为-(1,0,0)=,所以点M到平面ACD1的距离d=.故直线MN与平面ACD1间的距离为.答案:D5.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=2,BC=3,AA'=4,则点B到直线A'C的距离为.解析: AB=2,BC=3,AA'=4,则B(2,0,0),C(2,3,0),A'(0,0,4),∴=(0,0,4)-(2,3,0)=(-2,-3,4),∴=(2,0,0)-(2,3,0)=(0,-3,0),∴上的投影为=.∴点B到直线A'C的距离d=3=.答案:6.如图,已知△ABC是以∠B为直角的直角三角形,SA⊥平面ABC,SA=BC=2,AB=4,M,N,D分别是SC,AB,BC的中点,则点A到平面SND的距离为.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则N(0,2,0),S(0,0,2),D(-1,4,0),∴=(0,-2,2),=(-1,4,-2).设平面SND的法向量为n=(x,y,1).∴n·=0,n·=0,∴∴n=(2,1,1). =(0,0,2),∴点A到平面SND的距离为.答案:7.4如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E为PD的中点.在侧面PAB内找一点N,使NE⊥平面PAC,并分别求出点N到AB和AP的距离.解建立如图所示的空间直角坐标系,则由题意有A(0,0,0),C(,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E.所以=(,1,0),=(0,0,2).因为点N在侧面PAB内,故可设点N的坐标为(x,0,z),则.由NE⊥平面PAC,可得即化简,得所以即点N的坐标为,从而点N到AB和AP的距离分别为1,.8.已知三棱柱ABC-A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点.求点C到平面AB1D的距离.解(方法一)如图,连接A1B,交AB1于点M,连接DM,则DM⊥平面AA1B1B,所以A1B⊥DM.又=()·()=||2-||2=0,∴A1B⊥AB1.5∴A1B⊥平面AB1D.即是平面AB1D的一个法向量.故点C到平面AB1D的距离d==a.(方法二)如图,以B为原点,过点B与BC垂直的直线为x轴,BC所在的直线为y轴,BB1所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),A,A1,B1(0,0,a),D,C(0,a,0).可知.取AB1的中点M,则M.∴,∴a×+0×(-a)=0.∴DM⊥A1B.又a2+-a2=0,∴A1B⊥AB1.∴A1B⊥平面AB1D.即是平面AB1D的一个法向量,6故点C到平面AB1D的距离d==a.B组1.已知ABCD-EFGH是棱长为1的正方体,若点P在正方体内部且满足,则点P到AB的距离为()A.B.C.D.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则(1,0,0)+(0,1,0)+(0,0,1)=.又=(1,0,0),∴上的投影为,∴点P到AB的距离为.答案:A2.如图,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,则点D到平面ACE的距离为()A.B.C.D.2解析:7取AB的中点O,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2),从而=(0,0,2),=(1,1,0),=(0,2,2).设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则令y=1,则x=-1,z=-1,∴n=(-1,1,-1)为平面ACE的一个法向量.故点D到平面ACE的距离d=.答案:B3.如图,△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2,则点A到平面MBC的距离为.解析:取CD的中点O,连接OB,OM,则OB⊥CD,OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD,则MO⊥平面BCD.以O为原点,建立空间直角坐标系如图,由题意得OB=OM=,AB=2,所以C(1,0,0),M(0,0,),...
