技法强化训练(一)函数与方程思想(对应学生用书第159页)题组1运用函数与方程思想解决数列、不等式等问题1．已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn是其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8的值为()A．16B．32C．64D．62C[由题意可知a＝a1a5，即(1＋d)2＝1×(1＋4d)，解得d＝2，∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.∴S8＝＝4×(1＋15)＝64.]2．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有()A．x＋y≥0B．x＋y≤0C．x－y≤0D．x－y≥0B[原不等式可化为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数y＝2x－5－x，其为R上的增函数，所以有x≤－y，即x＋y≤0.]3．若关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1，x2满足－1≤x1＜0＜x2＜2，则k的取值范围是()【导学号：68334007】A.B.C.D.B[构造函数f(x)＝x2＋2kx－1，因为关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1，x2满足－1≤x1＜0＜x2＜2，所以即所以－＜k≤0，所以k的取值范围是.]4．已知数列{an}满足a1＝60，an＋1－an＝2n(n∈N*)，则的最小值为________．[由an＋1－an＝2n，得an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2＋60＝n2－n＋60.∴＝＝n＋－1.令f(x)＝x＋－1，易知f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．又n∈N*，当n＝7时，＝7＋－1＝，当n＝8时，＝8＋－1＝.又＜，故的最小值为.]5．已知函数f(x)＝xlnx＋a，g(x)＝x2＋ax，其中a≥0.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)也相切，求a的值；(2)证明：x＞1时，f(x)＋＜g(x)恒成立．【导学号：68334008】[解](1)由f(x)＝xlnx＋a，得f(1)＝a，f′(x)＝lnx＋1，所以f′(1)＝1.1分所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为y＝x＋a－1.因为直线y＝x＋a－1与曲线y＝g(x)也相切，所以两方程联立消元得x2＋ax＝a＋x－1，1即x2＋(a－1)x＋1－a＝0，3分所以Δ＝(a－1)2－4××(1－a)＝0，得a2＝1.因为a≥0，所以a＝1.4分(2)证明：x＞1时，f(x)＋＜g(x)恒成立，等价于x2＋ax－xlnx－a－＞0恒成立．令h(x)＝x2＋ax－xlnx－a－，则h(1)＝0且h′(x)＝x＋a－lnx－1.6分令φ(x)＝x－lnx－1，则φ(1)＝0且φ′(x)＝1－＝，8分所以x＞1时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增，所以φ(x)＞φ(1)＝0.又因为a≥0，所以h′(x)＞0，h(x)单调递增，所以h(x)＞h(1)＝0，所以x＞1时，x2＋ax－xlnx－a－＞0恒成立，11分即x＞1时，f(x)＋＜g(x)恒成立.12分题组2利用函数与方程思想解决几何问题6．设抛物线C：y2＝3px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16xC[由抛物线的定义可知MF＝xM＋＝5，∴xM＝5－，y＝15p－，故以MF为直径的圆的方程为(x－xM)(x－xF)＋(y－yM)(y－yF)＝0，即＋(2－yM)(2－0)＝0.∴yM＝2＋－＝2＋⇒yM＝4，p＝或.∴C的方程为y2＝4x或y2＝16x.]7．(2017·宁波市镇海中学高三模拟考试)在直三棱柱A1B1C1ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为()【导学号：68334009】A.B.C.D.A[建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，E，G，设F(x,0,0)，D(0，y,0)，则GD＝，EF＝，x，y∈(0,1)．由于GD⊥EF，所以x＋2y－1＝0，x＝1－2y∈(0,1)，解得0＜y＜.DF＝＝＝，当且仅当y＝时，线段DF长度的最小值是，当y＝0时，线段DF的最大值是1，由于不包括端点，故y＝0不能取，所以线段DF的长度的取值范围是，故选A.]8．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，并且经过定点P.2(1)求椭圆E的方程；(2)问：是否存在直线y＝－x＋m，使直线与椭圆交于A，B两点，且满足OA·OB＝？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【导学号：68334010】[解](1)由e＝＝且＋＝1，c2＝a2－b2，解得a2＝4，b2＝1，即椭圆E的方程为＋y2＝1.4分(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由⇒x2＋4(m－x)2－4＝0⇒5x2－8mx＋4m2－4＝0.(*)所以x1＋x2＝，x1x2＝，8分y1y2＝(m－x1)(m－x2)＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＝m2－m2＋＝，由OA·OB＝得(x1，y1)·(x2，y2)＝，即x1x2＋y1y2＝，＋＝，m＝±2.又方程(*)要有两个不...
