【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学2.5特征值与特征向量学业分层测评苏教版选修4-2学业达标]1.设矩阵M＝.(1)求矩阵M的逆矩阵M－1；(2)求矩阵M的特征值.【解】(1)矩阵A＝(ad－bc≠0)的逆矩阵为A－1＝所以矩阵M的逆矩阵M－1＝.(2)矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－4λ－5.令f(λ)＝0，得到M的特征值为－1或5.2.(江苏高考)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝，求矩阵A的特征值.【导学号：30650052】【解】因为A－1A＝E，所以A＝(A－1)－1.因为A－1＝，所以A＝(A－1)－1＝，于是矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.3.已知二阶矩阵A的属于特征值－2的一个特征向量为，属于特征值2的一个特征向量为，求矩阵A.【解】设A＝，由题意知＝，＝，即解得∴A＝.4.已知二阶矩阵M有特征值λ＝3及对应的一个特征向量α1＝，并且矩阵M对应的变换将点(－1，2)变换成(9，15)，求矩阵M.【解】设M＝，则＝3＝，故＝，故联立以上两方程组解得a＝－1，b＝4，c＝－3，d＝6，故M＝.5.已知α是矩阵M的属于特征值λ＝3的一个特征向量，其中M＝，α＝，且a＋b＋m＝3，求a，b，m的值.【解】因为α是矩阵M的属于特征值λ＝3的一个特征向量，所以Mα＝λα，即＝3，所以由a＋b＋m＝3，解得a＝，b＝，m＝－.6.已知矩阵A＝.(1)求矩阵A－1；(2)求逆矩阵A－1的特征值及特征向量；(3)对任意向量α＝，求(A－1)20α.【解】(1)det(A)＝2×(－1)－0×0＝－2，∴A－1＝.(2)f(λ)＝＝(λ＋1)，令f(λ)＝0，得A－1的特征值λ1＝，λ2＝－1，属于特征值λ1＝的一个特征向量α1＝，属于特征值λ2＝－1的一个特征向量α2＝.(3)设＝x＋y，1∴(A－1)20α＝x·(λ1)20α1＋y(λ2)20α2＝＝.7.(福建高考)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝.①求矩阵A；②求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.【导学号：30650053】【解】①因为矩阵A是矩阵A－1的逆矩阵，且|A－1|＝2×2－1×1＝3≠0，所以A＝＝.②矩阵A－1的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f(λ)＝0，得矩阵A－1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，所以ξ1＝是矩阵A－1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，ξ2＝是矩阵A－1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量.能力提升]8.已知矩阵M有特征值λ1＝4及对应的一个特征向量α1＝，并有特征值λ2＝－1及对应的一个特征向量α2＝.(1)求矩阵M；(2)求M2016α2.【解】(1)令M＝，则由特征值与特征向量的定义，得Mα1＝λ1α1，Mα2＝λ2α2，即有＝4且＝－，即解得所以M＝.(2)由条件，得M2016α2＝λα2＝(－1)2016＝.2
