课时作业20空间向量的数量积运算时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．设a、b为空间的非零向量，下列各式：①a2＝|a|2；②＝；③(a·b)2＝a2·b2；④(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：由数量积的性质和运算律可知①④是正确的，故选B.答案：B2．已知a、b是异面直线，且a⊥b，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为()A．－6B．6C．3D．－3解析：由a⊥b，得a·b＝0，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.故选B.答案：B3．设ABCD－A′B′C′D′是棱长为a的正方体，AC′和BD′相交于点O，则有()A.AB·A′C＝2a2B.AB·AC＝a2C.AB·AO＝a2D.BC′·AD＝a2解析：由AB·AO＝AC′·AB＝(AB＋BC＋CC′)·AB＝a2.答案：C4．已知空间四边形ABCD各条边的长度相等，E是BC边的中点，那么()A.AE·BC
AE·CDD.AE·BC与AE·CD不能比较大小答案：A5．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，则△BCD是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定解析：BD·BC＝(AD－AB)·(AC－AB)＝AD·AC－AD·AB－AB·AC＋AB2＝AB2>0，∴cos∠DBC>0，∠DBC为锐角，同理∠BDC，∠BCD为锐角．∴△BCD为锐角三角形．答案：B6．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成1的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：设〈AB，CD〉＝θ，AB·CD＝(AC＋CD＋DB)·CD＝|CD|2＝1，∴cosθ＝＝，又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°，故选C.答案：C二、填空题(每小题8分，共24分)7．已知空间向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．解析：∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.答案：－138．若AB·BE＝AB·BC，则AB________CE.解析：AB·BE＝AB·BC，则AB·(BE－BC)＝AB·CE＝0.∴AB⊥CE.答案：⊥9．已知|OA|＝5，|OB|＝2，〈OA，OB〉＝60°，OC＝2OA＋OB，OD＝OA－2OB，则以OC、OD为邻边的平行四边形OCED的对角线OE的长为__________．解析：∵OE＝OC＋OD，∴OE2＝(OC＋OD)2＝(2OA＋OB＋OA－2OB)2＝(3OA－OB)2＝9OA2＋OB2－6OA·OB＝9×25＋4－6×5×2×cos60°＝199.∴OE＝.答案：三、解答题(共40分)图110．(10分)已知空间四边形ABCD，求AB·CD＋BC·AD＋CA·BD的值．解：AB·CD＋BC·AD＋CA·BD＝AB·(AD－AC)＋(AC－AB)·AD－AC·(AD－AB)＝AB·AD－AB·AC＋AC·AD－AB·AD－AC·AD＋AC·AB＝0.11．(15分)BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C2的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角．图2解：如图2所示．∵BA1＝BA＋BB1，AC＝AB＋BC，∴BA1·AC＝(BA＋BB1)·(AB＋BC)＝BA·AB＋BA·BC＋BB1·AB＋BB1·BC.因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴AB·BC＝0，BB1·AB＝0，BB1·BC＝0，BA·AB＝－a2.∴BA1·AC＝－a2.又BA1·AC＝|BA1|·|AC|cos〈BA1，AC〉，∴cos〈BA1，AC〉＝＝－.∴〈BA1，AC〉＝120°，∴异面直线BA1与AC成60°角．图312．(15分)如图3所示，已知P是△ABC所在平面外一点，PA⊥PC，PB⊥PC，PA⊥PB，求证：P在面ABC上的射影H是△ABC的垂心．证明：∵PA⊥PC，PB⊥PC，PA⊥PB，∴PA·PC＝0，PB·PC＝0，PA·PB＝0，PA⊥平面PBC.∴PA·BC＝0.由题意可知，PH⊥面ABC，∴PH·BC＝0，PH·AB＝0，PH·AC＝0.∴AH·BC＝(PH－PA)·BC＝PH·BC－PA·BC＝0.∴AH⊥BC.同理可证BH⊥AC，CH⊥AB.3∴H为△ABC的垂心．4
