课堂10分钟达标1.已知平面上定点F1,F2及动点M,命题甲:||MF1|-|MF2||=2a(a为常数),命题乙:M点轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.根据双曲线的定义,乙⇒甲,但甲乙,只有当2a<|F1F2|且a≠0时,其轨迹才是双曲线.2.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()A.x2-=1B.-y2=1C.y2-=1D.-=1【解析】选A.因为双曲线的焦点在x轴上,所以设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).由题知c=2,所以a2+b2=4.①又点(2,3)在双曲线上,所以-=1.②由①②解得a2=1,b2=3,所以所求双曲线的标准方程为x2-=1.3.若方程-=1表示双曲线,则实数m满足()A.m≠1且m≠-3B.m>1C.m<-或m>D.-30恒成立,所以m2-3>0,解得m<-或m>.4.焦点在坐标轴上,中心在原点,且经过点P(2,3)和Q(-7,-6)的双曲线方程是________.【解析】设双曲线的方程为mx2-ny2=1(mn>0),把P,Q两点的坐标代入,得1解得所以双曲线的标准方程是-=1.答案:-=15.P是双曲线-=1上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,且|PF1|=17,则|PF2|的值为________.【解析】在双曲线-=1中,a=8,b=6,故c=10,由P是双曲线上一点得,||PF1|-|PF2||=16,所以|PF2|=1或|PF2|=33.又|PF2|≥c-a=2,所以|PF2|=33.答案:336.求与圆A:(x+5)2+y2=49和圆B:(x-5)2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程.【解析】设点A,B分别为圆A,圆B的圆心,则|PA|-|PB|=7-1=6<10,所以点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的一支.设P点的坐标为(x,y).因为2a=6,c=5,所以b=4.故点P的轨迹方程是-=1(x>0).7.【能力挑战题】设双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,且与椭圆相交,一个交点A的纵坐标为4,求此双曲线的标准方程.【解析】方法一:设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),由题意知c2=36-27=9,c=3.又点A的纵坐标为4,则横坐标为±,于是有解得所以双曲线的标准方程为-=1.方法二:设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±,4),又两焦点分别为F1(0,3),F2(0,-3).2所以2a=|-|=4,即a=2,b2=c2-a2=9-4=5,所以双曲线的标准方程为-=1.3
