§4.7正弦定理、余弦定理及其应用1．正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即___________．其中R是三角形外接圆的半径．(2)正弦定理的其他形式：①a＝2RsinA，b＝__________，c＝__________；②sinA＝，sinB＝___________，sinC＝___________；③a∶b∶c＝______________________.2．余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝_______________，b2＝_______________，c2＝.若令C＝90°，则c2＝，即为勾股定理．(2)余弦定理的推论：cosA＝_______________，cosB＝_______________，cosC＝_______________.若C为锐角，则cosC>0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cosC<0，即a2＋b2______c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角．(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA，类似地，sin2B＝___________；sin2C＝__________.注意式中隐含条件A＋B＋C＝π.3．解三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理，只有一解．(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用____________定理，可能有____________________．如在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如表：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA
b解的个数①②③④(3)已知三边，用____________定理．有解时，只有一解．(4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解．4．三角形中的常用公式及变式(1)三角形面积公式S△＝____________＝____________＝____________＝____________＝____________．其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半径．(2)A＋B＋C＝π，则A＝_____________，＝_____________，从而sinA＝____________，cosA＝_______________，tanA＝_______________；sin＝________________，cos＝________________，tan＝_____________.tanA＋tanB＋tanC＝______________.(3)若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b＝____________⇔2sinB＝____________⇔2sin＝cos⇔2cos＝cos⇔tantan＝.(4)在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB，b＝____________，c＝____________.(此定理称作“射影定理”，亦称第一余弦定理)自查自纠1．(1)＝＝＝2R(2)①2RsinB2RsinC②③sinA∶sinB∶sinC2．(1)b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosCa2＋b2(2)><(3)互化sin2C＋sin2A－2sinCsinAcosBsin2A＋sin2B－2sinAsinBcosC3．(1)正弦(2)正弦一解、两解或无解①一解②两解③一解④一解(3)余弦(4)余弦4．(1)absinCbcsinAacsinB(a＋b＋c)r(2)π－(B＋C)－sin(B＋C)－cos(B＋C)－tan(B＋C)cossintanAtanBtanC(3)a＋csinA＋sinC(4)acosC＋ccosAacosB＋bcosA()在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的()A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件解：在△ABC中，由正弦定理可得，＝，即＝，注意到a，b，sinA，sinB均为正数，则a≤b⇔sinA≤sinB，亦即“a≤b”是“sinA≤sinB”的充分必要条件．故选A.在△ABC中，已知b＝6，c＝10，B＝30°，则解此三角形的结果有()A．无解B．一解C．两解D．一解或两解解：由正弦定理知sinC＝＝，又由c>b>csinB知，C有两解．也可依已知条件，画出△ABC，由图知有两解．故选C.()设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC＋ccosB＝asinA,则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解：由已知和正弦定理可得sinBcosC＋sinCcosB＝sinA·sinA，即sin(B＋C)＝sinAsinA，亦即sinA＝sinAsinA. 0
