第29讲正弦定理与余弦定理1．在△ABC中，a＝3，b＝2，cosC＝，则△ABC的面积为(D)A.B．2C．3D．4因为C为三角形的内角，所以sinC＝＝，所以S＝absinC＝×3×2×＝4.2．(2016·天津卷)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝(A)A．1B．2C．3D．4由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.3．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝(C)A.B.C．－D．－(方法1)设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由题意得S△ABC＝a·a＝acsinB，所以c＝a.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，所以b＝a.所以cosA＝＝＝－.故选C.(方法2)同方法一得c＝a.由正弦定理得sinC＝sinA，又B＝，所以sinC＝sin(－A)＝sinA，即cosA＋sinA＝sinA，所以tanA＝－3，所以A为钝角．又因为1＋tan2A＝，所以cos2A＝，所以cosA＝－.故选C.4．如图所示，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC、ED，则sin∠CED＝(B)A.B.C.D.EB＝EA＋AB＝2，EC＝＝＝，∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝＋＝.由正弦定理，得＝＝＝，所以sin∠CED＝sin∠EDC＝sin＝.5．(2017·全国卷Ⅱ·文)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝.(方法一)由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.所以2sinBcosB＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，所以A＋C＝π－B.所以2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.又sinB≠0，所以cosB＝.所以B＝.(方法二)因为在△ABC中，由射影定理有acosC＋ccosA＝b，所以条件等式变为2bcosB＝b，所以cosB＝.又00，所以sinB＝cosA，即cos(－B)＝cosA，因为A∈(0，π)，－B∈(0，)，所以－B＝A，即A＋B＝，所以C＝.(2)设BD＝m，CB＝n，因为B＝，C＝，所以A＝，且AC＝n，AB＝2n，AD＝2n＋m，所以S△ACD＝AC·ADsinA＝×n×(2n＋m)×＝，即n(2n＋m)＝3，①在△BCD中，由余弦定理CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcos∠DBC，可得m2＋n2＋mn＝3，②联立①②可解得m＝n＝1，即BD＝1.
