4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆位置关系的判定1、2相交问题4、6、7、8、11相切问题3、5、9直线与圆位置关系的应用10、12、13基础巩固1.(2015景德镇期末)直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2x+4y-11=0的位置关系是(D)(A)相离(B)相切(C)相交过圆心(D)相交不过圆心解析:圆心(1,-2)到直线4x-3y-2=0的距离d==,圆的半径r=4.所以d4,即点P(a,b)在圆x2+y2=4外,故选A.3.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的值为(B)(A)0或2(B)2(C)(D)无解解析:因为直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,所以(0,0)到直线x+y+m=0的距离为(m>0),即=,整理,得m2=2m.解得m=2或m=0(舍去),故选B.4.过点(0,1)的直线与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则|AB|的最小值为(B)(A)2(B)2(C)3(D)2解析:当圆心到直线距离最大时,弦长最短,易知当圆心与定点G(0,1)的连线与直线AB垂直时,圆心到直线AB的距离取得最大值,即d=|OG|=1,此时弦长最短,即≥=|AB|⇒≥2,故选B.5.(2015蚌埠一中月考)若圆心在x轴上,半径为的圆位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆O的方程为(D)(A)(x-)2+y2=5(B)(x+)2+y2=5(C)(x-5)2+y2=5(D)(x+5)2+y2=5解析:设圆心(a,0)(a<0),由题意,得=,得|a|=5,即a=-5.所以圆O的方程为(x+5)2+y2=5,故选D.6.(2014高考重庆卷)已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则实数a的值为.解析:因为圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=9,所以圆心为C(-1,2),半径为3.因为AC⊥BC,所以|AB|=3.因为圆心到直线的距离d==,所以|AB|=2=2=3,即(a-3)2=9,所以a=0或a=6.答案:0或67.(2014高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为.解析:由题意可得,圆心为(2,-1),r=2,圆心到直线的距离d==,所以弦长为2=2=.答案:8.求与x轴相切,圆心C在直线3x-y=0上,且截直线x-y=0所得弦长为2的圆的方程.解:设圆心为(a,b),半径为r,因为圆与x轴相切,圆心C在直线3x-y=0上,所以b=3a,r=|b|=|3a|,圆心(a,3a)到直线x-y=0的距离d=由r2-d2=()2,得a=1或-1,所以圆心坐标为(1,3)或(-1,-3),半径r=3.所以圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9.能力提升9.若直线ax+by-3=0和圆x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),则ab的值为(C)(A)-3(B)-2(C)2(D)3解析:圆标准方程为(x+2)2+y2=5,直线与圆相切,则圆心到直线距离为,所以=,整理得a2-12a+5b2-9=0且直线过P(-1,2),代入得2b-a-3=0,两式联立,得a=1,b=2,所以ab=2,故选C.10.(2015江西崇义中学月考)若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,则b的取值范围是(C)(A)[-1,1+2](B)[1-2,1+2](C)[1-2,3](D)[1-,3]解析:曲线y=3-表示圆(x-2)2+(y-3)2=4的下半圆,如图所示,当直线y=x+b经过点(0,3)时,b取最大值3,当直线向下平移至与半圆相切时,b取最小值.由=2b=1-2⇒或1+2(舍去),故bmin=1-2,b的取值范围为[1-2,3],故选C.11.(2014高考重庆卷)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=.解析:由题意可知圆的圆心为C(1,a),半径r=2,则圆心C到直线ax+y-2=0的距离d==.因为△ABC为等边三角形,所以|AB|=r=2.又|AB|=2,所以2=2,即a2-8a+1=0,解得a=4±.答案:4±12.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若不过原点的直线l与圆C相切,且在x轴,y轴上的截距相等,求直线l的方程;(2)求经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程.解:(1)因为切线在两坐标轴上截距相等且不为零,设直线方程为x+y=a,所以圆C(-1,2)到切线的距离等于圆半径,即=,所以a=-1或a=3.所求切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.(2)当直线斜率不存在时,直线即为y轴,此时交点坐标为(0,1),(0,3),被圆C截得的线段长为2,符合题意,直线方程为x=0.当直线斜率存在时,设直线方程为y=kx,即kx-y=0,由已知得,圆心到直线的距离为1,则=1k=-⇒,直线方程为y=-x,综上,所求直线方程为x=0或y=-x.探究创新13.已知圆C的方程:x2+y2-2x-4y+m=0,其中m<5.(1)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点,且|MN|=,求m的值;(2)在(1)条件下,是否存在直线l:x-2y+c=0,使得圆上有四点到直线l的距离为,若存在,求出c的范围,若不存在,说明理由.解:(1)圆的方程化为(x-1)+(y-2)2=5-m,圆心C(1,2),半径r=,则圆心C(1,2)到直线l:x+2y-4=0的距离d==,由于|MN|=,则|MN|=,有r2=d2+,所以5-m=+,得m=4.(2)假设存在直线l:x-2y+c=0,使得圆上有四点到直线l的距离为,由于圆心C(1,2),半径r=1,则圆心C(1,2)到直线l:x-2y+c=0的距离为d==<,解得4-
