高考数学复习点拨 用基本不等式证题的技巧与策略VIP免费

用基本不等式证题的技巧与策略在使用基本不等式证明问题时，根据所证不等式的结构，常常需要配合一定的变形技巧与转化策略，才可以使用基本不等式把问题．现举例说明如下．一、凑项在凑“和”或“积”为定值时，还需要注意凑“等号”成立，此时必须合理凑项．例1设a、b、c均为正数，且a+b+c=1，求证：14a+14b+14c≤21．分析：考虑等号成立的条件时，必须注意a、b、c在问题中的对称地位，即只有a=b=c=31时，才有可能达到最值，而此时4a+1=4b+1=4c+1=37．证明：∵14a=73·37)14(a≤73·23714a，同理14b≤73·23714b，14c≤73·23714c．∴14a+14b+14c≤73·21[4(a+b+c)+3+7]=21．当且仅当4a+1=4b+1=4c+1=37，即a=b=c=31时，上式“=”号成立．二、配项在使用基本不等式时，若能巧妙地添式配项，就可以把问题转化．例2已知a1，a2，…，an均为正数，且a1+a2+…+an=1，求证：用心爱心专心2121aaa+3222aaa+…+12aaann≥21．证明：因a1，a2，…，an均为正数，故2121aaa+421aa≥a1，3222aaa+432aa≥a2，……，12aaann+41aan≥an．又因421aa+432aa+…+41aan=21(a1+a2+…+an)=21，所以，把以上各同向不等式相加，得：2121aaa+3222aaa+…+12aaann+21≥a1+a2+…+an=1．故2121aaa+3222aaa+…+12aaann≥21．三、构造根据问题的整体结构，用基本不等式构造对偶式，然后经过某些运算，促使问题的转化与解决．例3已知a1，a2，…，an均为实数，且a1+a2+…+an=A(A＞0)，a21+a22+…+a2n=12nA(nN，n≥2)，求证：0≤ak≤nA2．(k=1，2，…，n)证明：构造基本不等式如下：11naA·a2≤21[(11naA)2+a22]，11naA·a3≤21[(11naA)2+a23]，用心爱心专心……，11naA·an≤21[(11naA)2+a2n]．将上述(n－1)个同向不等式相加得：11naA(a2+a3+…+an)≤21[2)1(1nn(A－a1)2+a22+a23+…+a2n]，即1)(21naA≤21[1)(21naA+12nA－a21]na21－2a1A≤0，0≤a1≤nA2．同理可求得0≤ak≤nA2．(k=1，2，…，n)四、平方通过平方运算，一可以把和(积)凑成定值，二可以把和(积)问题转化为积(和)问题．例4若a、b、cR+，a+b+c=3，求证：12a+12b+12c≤33．证明：∵(12a+12b+12c)2=2a+1+2b+1+2c+1+2)12)(12(ba+2)12)(12(cb+2)12)(12(ac≤2(a+b+c)+3+(2a+1)+(2b+1)+(2b+1)+(2c+1)+(2c+1)+(2a+1)=6(a+b+c)+9=27．∴12a+12b+12c≤33．五、引参通过巧妙地引入参数，把问题转化成基本不等式结构，使参数在用不等式证题过程中起到一个桥梁作用．例5已知a、b、cR+，a+b+c=1,，求证：113a+113b+用心爱心专心113c≤43．证明：引入待定正参数t，∵t113a=)113(2at≤21(t2+13a+1)①，同理t113b=)113(2bt≤21(t2+13b+1)②，t113c=)113(2ct≤21(t2+13c+1)③。①+②+③得：t(113a+113b+113c)≤21(3t2+13a+13b+13c+3)=23t2+8．∵t＞0，∴113a+113b+113c≤23t+t8．④由于t＞0，则23t+t8≥2tt823=33．当且仅当t=113a=113b=113c，即t=334时，④式取等号，将t=334代入④得：113a+113b+113c≤43．六、换元通过换元，把生疏的结构转化为基本不等式形式，使证题思路自然、简捷．例6已知a、b、c为△ABC三边的长，求证：abc≥(a+b－c)(b+c－a)(c+a－b)．证明：设m=b+c－a，n=c+a－b，p=a+b－c，则由三角形两边之和大于第三边，得m＞0，n＞0，p＞0，且a=2pn，b=2pm，c=2mn．于是abc=2pn·2pm·2mn≥np·mp·mn=mnp=(a+b－c)(b+c－a)(c+a－b)．七、配对用心爱心专心根据已知不等式的某一边结构，给其配上一个与之对称的代数式，然后将两个代数式联立再使用基本不等式，完成不等式的证明．例7设a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn均为正数，且a1+a2+…+an=b1+b2+…+bn，求证：1121baa+2222baa+…+nnnbaa2≥21(a1+a2+…+an)．证明：设M=1121baa+2222baa+…+nnnbaa2，给M配对：N=1121bab+2222bab+…+nnnbab2．则M－N=112121baba+222222baba+…+nnnnbaba22=(a1－b1)+(a2－b2)+…+(an－bn)=(a1+a2+…+an)－(b1+b2+…+bn)=0．∴M=N．当注意到a2+b2≥21(a+b)2和a1+a2+…+an=b1+b2+…+bn得：M+N=112121baba+222222baba+…+nnnnbaba22≥21(a1+b1)+21(a2+b2)+…+21(an+bn)=21(a1+a2+…+an)+21(b1+b2+…+bn)=a1+a2+…+an．用心爱心专心由M=N，所以1121baa+2222baa+…+nnnbaa2≥21(a1+a2+…+an)．用心爱心专心