【与名师对话】2016版高考数学一轮复习4.1平面向量的概念及线性运算课时跟踪训练文一、选择题1．(2014·北京东城综合练习(一))已知四边形ABCD为平行四边形，若向量AB＝a，AC＝b，则向量BC为()A．a－bB．a＋bC．b－aD．－a－b解析：BC＝AC－AB＝b－a，选C.答案：C2．(2014·日照期末)如图所示，已知AB＝2BC，OA＝a，OB＝b，OC＝c，则下面等式中成立的是()A．c＝b－aB．c＝2b－aC．c＝2a－bD．c＝a－b解析：由AB＝2BC得AO＋OB＝2(BO＋OC)，即2OC＝－OA＋3OB，即c＝b－a.答案：A3．(2015·宁德质检)若a，b是向量，则“a＝b”是“|a|＝|b|”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：两个向量相等指的是大小相等方向相同，所以a＝b是|a|＝|b|的充分不必要条件，故选A.答案：A4．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝()A．－B．－C.D.解析：据向量运算的几何意义，画图如图所示．其中D、E分别是AB和AC的三等分点，以EC和1ED为邻边作平行四边形，得CF＝CB.故λ＝，所以选D.答案：D5．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对解析：由已知AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC.∴AD∥BC，又AB与CD不平行，∴四边形ABCD是梯形．答案：C6．(2014·济南一模)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足OP＝，则点P一定为三角形ABC的()A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点(非重心)C．重心D．AB边的中点解析：设AB的中点为M，则OA＋OB＝OM，∴OP＝(OM＋2OC)＝OM＋OC，即3OP＝OM＋2OC，也就是MP＝2PC，∴P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点．答案：B二、填空题7．在△ABC中，CA＝a，CB＝b，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN、AM交于点P，则AP＝________(用a，b表示)．解析：如图所示，AP＝AC＋CP＝－CA＋CN＝－CA＋×(CA＋CB)＝－CA＋CA＋CB＝－CA＋CB＝－a＋b.答案：－a＋b8.2如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别在边CD和BC上，且DC＝3DE，BC＝3BF，若AC＝mAE＋nAF，其中m，n∈R，则m＋n＝________.解析：AC＝AD＋AB＝AE＋ED＋AF＋FB＝AE＋CD＋AF＋CB＝AE＋(AD－AC)＋AF＋(AB－AC)＝AE－AC＋AF∴AC＝AE＋AF.则m＋n＝＋＝.答案：9．给出下列命题：①向量AB的长度与向量BA的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上．其中命题的序号正确的为________(写出所有正确命题的序号)．解析：①中，∵向量AB与BA为相反向量，∴它们的长度相等，此命题正确．②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，∴该命题错误．答案：①③三、解答题10．设两个非零向量e1和e2不共线，如果AB＝e1－e2，BC＝3e1＋2e2，CD＝－8e1－2e2，求证：A、C、D三点共线．证明：AB＝e1－e2，BC＝3e1＋2e2，CD＝－8e1－2e2，AC＝AB＋BC＝4e1＋e2＝－(－8e1－2e2)＝－CD.∴AC与CD共线．又∵AC与CD有公共点C，∴A、C、D三点共线．11.如图所示，△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝AC，在AB上取一点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使得MQ＝λCM时，AP＝QA，试确定λ的值．解：∵AP＝NP－NA＝(BN－CN)＝(BN＋NC)＝BC，QA＝MA－MQ＝BM＋λMC，又∵AP＝QA，∴BM＋λMC＝BC，即λMC＝MC，∴λ＝.312．已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．(1)求GA＋GB＋GO；(2)若PQ过△ABO的重心G，且OA＝a，OB＝b，OP＝ma，OQ＝nb，求证：＋＝3.解：(1)∵GA＋GB＝2GM，又2GM＝－GO，∴GA＋GB＋GO＝－GO＋GO＝0.(2)证明：显然OM＝(a＋b)．因为G是△ABO的重心，所以OG＝OM＝(a＋b)．由P，G，Q三点共线，得PG∥GQ，所以，有且只有一个实数λ，使PG＝λGQ.而PG＝OG－OP＝(a＋b)－ma＝＋a＋b，GQ＝OQ－OG＝nb－(a＋b)＝－a＋b，所以a＋b＝λ.又因为a，b不共线，所以消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3.4
