高考数学大一轮复习 第七章 不等式 第3讲 基本不等式及其应用配套练习 文 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第3讲基本不等式及其应用一、选择题1．下列不等式一定成立的是()A．lg>lgx(x>0)B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.＜1(x∈R)解析当x＞0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg≥lgx(x＞0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．答案C2．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]解析2≤2x＋2y＝1，所以2x＋y≤，即2x＋y≤2－2，所以x＋y≤－2.答案D3．(2016·合肥二模)若a，b都是正数，则·的最小值为()A．7B．8C．9D．10解析 a，b都是正数，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号．故选C.答案C4．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是()A.≤B.＋≤1C.≥2D．a2＋b2≥8解析4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，选项A，C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立．答案D5．(2015·湖南卷)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为()A.B．2C．2D．4解析依题意知a＞0，b＞0，则＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立．因为＋＝，所以≥，即ab≥2，所以ab的最小值为2，故选C.答案C6．(2017·咸阳模拟)若实数x，y满足xy>0，则＋的最大值为()A．2－B．2＋C．4＋2D．4－2解析＋＝＝＝1＋＝1＋≤1＋＝4－2，当且仅当＝，即x2＝2y2时取等号．故选D.答案D7．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是()A.B.C．2D.解析由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.答案C8．(2017·安庆二模)已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为()A．4B．2C．8D．16解析由a>0，b>0，a＋b＝＋＝，得ab＝1，则＋≥2＝2.当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立．故选B.答案B二、填空题9．正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．解析 a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，解得≥3，即ab≥9.答案[9，＋∞)10．(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则＋的最大值为________．解析 m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，∴＋＝－(m＋n)＝－≤－2－2＝－4，当且仅当m＝n＝－时，＋取得最大值－4.答案－411．若对于任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．解析＝，因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，则≤＝，即的最大值为，故a≥.答案12．(2017·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．解析设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x(k1≠0)，y2＝(k2≠0)， 工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k1＝5，k2＝20，∴运费与仓储费之和为万元， 5x＋≥2＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．答案22013．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为()A．0B．1C.D．3解析由已知得z＝x2－3xy＋4y2，(*)则＝＝≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以＋－＝＋－＝－2＋1≤1.答案B14．(2017·衡水中学调研)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋2by(a>0，b>0)的最大值为1，则＋的最小值为________．解析不等式组所表示的平面区域是以(0,0)，，(1,1)为顶点的三角形区域(包括边界)，观察可知，当直线z＝ax＋2by过点(1,1)时，z有最大值，故a＋2b＝1，故1≥2，故ab≤，故＋≥≥8，当且仅当a＝2b＝时等号成立，故＋的最小值为8.答案815．(2017·辽宁五校协作体联考)点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝8上，则ab的最大值为________．解析由题意知a>0，b>0，且(a＋1)2＋(b＋1)2＝8，化简得a2＋b2＋2(a...